MATEMANIJA

Pozdrav svima.

Naišao sam na zadatak koji sam video mnogo puta:

Dokazati da za svaki prirodan broj [inlmath]n[/inlmath] važi
[dispmath]\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+\cdots+\frac{1}{(2n-1)\cdot(2n+1)}=\frac{n}{2n+1}[/dispmath]
Svakako da ovaj zadatak može da se reši putem matematičke indukcije. Ipak, interesuje me da li može i kako može da se rastavi proizvod u imeniocu ovih razlomaka. Mislim da bi nakon rastavljanja proizvoda u razliku svi članovi sa leve strane jednakosti, sem prvog i poslednjeg, trebalo da se ponište. Zatim se preostala dva člana svedu na isti razlomak i zadatak se tako reši u dva koraka. Varam li se?

Može da se reši bez indukcije, ali ne rastavljanjem imenilaca, već rastavljanjem brojilaca.
Pomnoži obe strane sa [inlmath]2[/inlmath]. Na levoj strani ćeš na taj način dobiti dvojke u brojiocima svih sabiraka. Sada dvojku u svakom od sabiraka napši kao razliku činilaca u imeniocu tog sabirka: kod prvog sabirka dvojku u brojiocu napiši kao [inlmath]3-1[/inlmath], kod drugog kao [inlmath]5-3[/inlmath]... kod poslednjeg kao [inlmath]\left(2n+1\right)-\left(2n-1\right)[/inlmath]. I onda će već biti očigledno šta se tu skraćuje.

Kreni od ovoga
[dispmath]\frac{1}{2}\left(\frac{3-1}{1\cdot3}+\frac{5-3}{3\cdot5}+\frac{7-5}{5\cdot7}+\cdots+\frac{2n+1-\left(2n-1\right)}{\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)}\right)[/dispmath]