MATEMANIJA

Pozdrav svima.

Potrebna mi je pomoć u vezi sa sledećim zadatkom:

"Pripremni zadaci za matematička takmičenja za učenike srednjih škola" (1999.)
97. Predstaviti izraz [inlmath]\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)[/inlmath] u obliku zbira kvadrata dva polinoma po [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath].

Ja sam to izmnožio, pri čemu sam dobio: [inlmath]a^2b^2c^2+a^2b^2+a^2c^2+a^2+b^2c^2+b^2+c^2+1=(abc)^2+(ab)^2+(ac)^2+a^2+(bc)^2+b^2+c^2+1[/inlmath].

Rešenje je: [inlmath](abc-a-b-c)^2+(ab+bc+ca-1)^2[/inlmath].

Kada razvijem njihovo rešenje, dobijem:
[dispmath]a^2b^2c^2-2a^2bc-2ab^2c-2abc^2+a^2+2ab+2ac+b^2+2bc+\\
+c^2+a^2b^2+2ab^2c+2a^2bc-ab+b^2c^2+2abc^2-bc+c^2a^2-ca[/dispmath][dispmath]a^2b^2c^2+a^2+2ab+2ac+b^2+2bc+c^2+a^2b^2-ab+b^2c^2-bc+c^2a^2-ca[/dispmath][dispmath]a^2b^2c^2+a^2+b^2+c^2+a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+ac+bc+ab[/dispmath]
Dakle, ili sam napravio grešku u računu, ili postoji neka štamparska greška (mada je verovatnije ovo prvo). Ovo što sam otkucao više sam puta proverio i zaista nisam uspeo da pronađem grešku u radu.

[dispmath]\begin{array}{l}
\left(a+b+c\right)^2=\left[a^2+b^2+c^2\right]+2ab+2bc+2ca\\
\left(ab+bc+ca\right)^2=\left[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right]+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2
\end{array}[/dispmath]
Izrazi ovo što je u uglastim zagradama i ubaci u izraz
[dispmath]a^2b^2c^2+a^2b^2+a^2c^2+a^2+b^2c^2+b^2+c^2+1[/dispmath]
dalje pokusaj sam.

U ovakvim slučajevima, kad nisi siguran koji je razvoj ispravan, uvek uvrsti neke konkrentne vrednosi za [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath], pa vidi koje će se rešenje za tako odabrane vrednosti poklapati, a koje ne.
Eto, recimo, najtrivijalniji primer, [inlmath]a=b=c=0[/inlmath]:
Za polazni izraz, [inlmath]\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)[/inlmath] dobije se [inlmath]1[/inlmath].
Sada takođe uvrštavaš [inlmath]a=b=c=0[/inlmath] u svoj razvoj. Ako dobiješ takođe [inlmath]1[/inlmath], to nije siguran znak da ti je razvoj u redu, ali ako dobiješ bilo koju drugu vrednost osim [inlmath]1[/inlmath], to onda jeste znak da negde imaš grešku.
Za razvoj tog izraza koji si ti uradio, takođe se dobije [inlmath]1[/inlmath]. OK, idemo dalje.
Uvrštavanjem i u njihovo rešenje, [inlmath]\left(abc-a-b-c\right)^2+\left(ab+bc+ca-1\right)^2[/inlmath], dobije se [inlmath]1[/inlmath].
Međutim, uvrštavanjem u tvoj razvoj njihovog rešenja, dobije se [inlmath]0[/inlmath]. Prema tome, imaš grešku u svom razvoju.

Odmah se vidi, pošto ti u jednom od ova dva polinoma figuriše [inlmath]1[/inlmath] kao sabirak, da [inlmath]1[/inlmath] mora figurisati i u razvoju. U razvoju koji si ti dobio, međutim, nema jedinice kao sabirka. To je očigledna greška.
Takođe, još u prvom redu razvoja njihovog rešenja, kod sabiraka [inlmath]-ab[/inlmath], [inlmath]-bc[/inlmath] i [inlmath]-ac[/inlmath] fali ti po jedna dvojka. Znači, treba da stoji [inlmath]-2ab[/inlmath], [inlmath]-2bc[/inlmath] i [inlmath]-2ac[/inlmath].