MATEMANIJA

Pozdrav svima.

Pripremni zadaci za matematička takmičenja za učenike srednjih škola - 1999.

122. Dokazati da je broj [inlmath]\underbrace{111\ldots1}_{2n}-\underbrace{222\ldots2}_n[/inlmath] kvadrat prirodnog broja.

Rešenje:
Lako se vidi da važi:
[dispmath]\underbrace{111\ldots1}_{2n}-\underbrace{222\ldots2}_n=\underbrace{111\ldots1}_{2n}-\underbrace{111\ldots1}_n-\underbrace{111\ldots1}_n\\
=\underbrace{111\ldots1}_n\underbrace{000\ldots0}_n-\underbrace{111\ldots1}_n\cdot10^n-\underbrace{111\ldots1}_n\\
=\underbrace{111\ldots1}_n\left(10^n-1\right)=\underbrace{111\ldots1}_n\cdot\underbrace{999\ldots9}_n=(3\cdot\underbrace{111\ldots1}_n)^2[/dispmath] Jasni su mi samo prvi i poslednji korak u njihovom rešenju, za ovo između mi treba objašnjenje.

U drugom redu njihovog rešenja postoji očigledna greška,

Uroš je napisao:[dispmath]=\underbrace{111\ldots1}_n\underbrace{000\ldots0}_n-\underbrace{111\ldots1}_n\cdot10^n-\underbrace{111\ldots1}_n[/dispmath]

Umesto toga, treba da piše:
[dispmath]=\underbrace{111\ldots1}_n\underbrace{000\ldots0}_n-\underbrace{111\ldots1}_n=\underbrace{111\ldots1}_n\cdot10^n-\underbrace{111\ldots1}_n[/dispmath] Možda te je to zbunjivalo?

Ako te i dalje zbunjuje opšti slučaj, pokušaj, za početak, da razmatraš poseban slučaj, tako što ćeš uvrstiti npr. [inlmath]n=2[/inlmath], čime se njihov postupak svodi na
[dispmath]1111-22=1111-11-11=1100-11=11\cdot10^2-11=\cdots[/dispmath] Ako i dalje bude „škripalo“, javi, tu smo.

@Daniel

Hvala na odgovoru, mada je to što sam milijardu puta pročitao rešenje "već" juče ukazalo na grešku (nisam stigao da pročitam tvoj odgovor). Ostatak zadatka je svakako jasan, odmah me je i čudilo to što se ostatak zadatka poklapao sa mojim razmišljanjem, a treći korak ne. Pozdrav!