Neskrativ razlomak
Poslato: Utorak, 12. Januar 2016, 18:38Pozdrav svima.
Evo jednog konkursnog zadatka iz najnovije "Tangente" (T82), oko kojeg mi je potrebna pomoć:
[inlmath]M1348.[/inlmath] Dokazati da se razlomak [inlmath]\displaystyle\frac{n^3+2n^2-n+1}{n^2-n+2}[/inlmath] ne može skratiti ni za jedan prirodan broj [inlmath]n[/inlmath].
Pokušao sam da rešim zadatak metodom matematičke indukcije:
[inlmath]1.[/inlmath] Dokažimo da je razlomak neskrativ za [inlmath]n=1[/inlmath]:
[dispmath]\frac{n^3+2n^2-n+1}{n^2-n+2}=\frac{1+2-1+1}{1-1+2}=\frac{3}{2}[/dispmath]
što jeste neskrativo.
[inlmath]2.[/inlmath] Pretpostavimo da je razlomak neskrativ za [inlmath]n=k,\;k\in\mathbb{N}[/inlmath]. Dokažimo da je razlomak neskrativ za [inlmath]n=k+1[/inlmath]:
[dispmath]\frac{n^3+2n^2-n+1}{n^2-n+2}=\frac{k^3+1+3k^2+3k+2k^2+4k+2-k-1+1}{k^2+2k+1-k-1+2}=\frac{k^3+5k^2+6k+3}{k^2+k+2}[/dispmath]
Moj pokušaj da nastavim rastavljanjem na dva razlomka nije se slavno završio:
[dispmath]\frac{k^3+5k^2+6k+3}{k^2+k+2}=\frac{k^3+2k^2-k+1+3k^2+7k+2}{k^2+k+2}=\\
=\frac{k^3+2k^2-k+1}{k^2+k+2}+\frac{3k^2+6k+k+2}{k^2+k+2}=\frac{k^3+2k^2-k+1}{k^2+k+2}+\frac{(k+2)(3k+1)}{k^2+k+2}[/dispmath]
Tu sam stao i ne znam kako dalje. Mislio sam da će možda činjenica da brojilac drugog razlomka ima realne nule (čini mi se da ni [inlmath]\left(k^3+2k^2-k+1\right)[/inlmath], ni [inlmath]\left(k^2+k+2\right)[/inlmath] nemaju realne nule) nešto da znači, ali, ili nije tako, ili ja tu činjenicu ne umem da upotrebim.
Evo jednog konkursnog zadatka iz najnovije "Tangente" (T82), oko kojeg mi je potrebna pomoć:
[inlmath]M1348.[/inlmath] Dokazati da se razlomak [inlmath]\displaystyle\frac{n^3+2n^2-n+1}{n^2-n+2}[/inlmath] ne može skratiti ni za jedan prirodan broj [inlmath]n[/inlmath].
Pokušao sam da rešim zadatak metodom matematičke indukcije:
[inlmath]1.[/inlmath] Dokažimo da je razlomak neskrativ za [inlmath]n=1[/inlmath]:
[dispmath]\frac{n^3+2n^2-n+1}{n^2-n+2}=\frac{1+2-1+1}{1-1+2}=\frac{3}{2}[/dispmath]
što jeste neskrativo.
[inlmath]2.[/inlmath] Pretpostavimo da je razlomak neskrativ za [inlmath]n=k,\;k\in\mathbb{N}[/inlmath]. Dokažimo da je razlomak neskrativ za [inlmath]n=k+1[/inlmath]:
[dispmath]\frac{n^3+2n^2-n+1}{n^2-n+2}=\frac{k^3+1+3k^2+3k+2k^2+4k+2-k-1+1}{k^2+2k+1-k-1+2}=\frac{k^3+5k^2+6k+3}{k^2+k+2}[/dispmath]
Moj pokušaj da nastavim rastavljanjem na dva razlomka nije se slavno završio:
[dispmath]\frac{k^3+5k^2+6k+3}{k^2+k+2}=\frac{k^3+2k^2-k+1+3k^2+7k+2}{k^2+k+2}=\\
=\frac{k^3+2k^2-k+1}{k^2+k+2}+\frac{3k^2+6k+k+2}{k^2+k+2}=\frac{k^3+2k^2-k+1}{k^2+k+2}+\frac{(k+2)(3k+1)}{k^2+k+2}[/dispmath]
Tu sam stao i ne znam kako dalje. Mislio sam da će možda činjenica da brojilac drugog razlomka ima realne nule (čini mi se da ni [inlmath]\left(k^3+2k^2-k+1\right)[/inlmath], ni [inlmath]\left(k^2+k+2\right)[/inlmath] nemaju realne nule) nešto da znači, ali, ili nije tako, ili ja tu činjenicu ne umem da upotrebim.