MATEMANIJA

Da li moze pomoc za resavanje zadatka:
[dispmath]\left(\sqrt{\frac{1}{x^2}-1}-\frac{1}{x}\right)\cdot\left(\frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}-1+x}+\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}\right)=[/dispmath]
Evo kako sam ja radila:
[dispmath]=\frac{\sqrt{(1-x)\cdot(1+x)}-1}{x}\cdot\left(\frac{1-x}{\sqrt{1-x}\cdot\left(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\right)}+\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}\right)=[/dispmath][dispmath]=\frac{\sqrt{(1-x)\cdot(1+x)}-1}{x}\cdot\frac{\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}[/dispmath]
Treba da se dobije resenje [inlmath]-1[/inlmath]

pretpostaviću da si zadala početne uslove za [inlmath]x[/inlmath]
idemo odavde
[dispmath]\frac{\sqrt{(1-x)\cdot(1+x)}-1}{x}\cdot\frac{\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}[/dispmath][dispmath]=\frac{\sqrt{(1-x)\cdot(1+x)}-1}{x}\cdot\frac{\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}\cdot\frac{\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}[/dispmath][dispmath]=\frac{\sqrt{(1-x)\cdot(1+x)}-1}{x}\cdot\frac{(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})^2}{\cancel1+x-\cancel1+x}[/dispmath][dispmath]=\frac{\sqrt{(1-x)\cdot(1+x)}-1}{x}\cdot\frac{1-\cancel x+1+\cancel x+2\cdot\sqrt{(1-x)\cdot(1+x)}}{2\cdot x}[/dispmath][dispmath]=\frac{\sqrt{(1-x)\cdot(1+x)}-1}{x}\cdot\frac{\sqrt{(1-x)\cdot(1+x)}+1}{x}[/dispmath][dispmath]=\frac{\cancel1-x^2-\cancel1}{x^2}=-1[/dispmath]

Ovo važi samo pod pretpostavkom da je [inlmath]x>0[/inlmath].
Naime, prvi činilac početnog izraza, [inlmath]\left(\sqrt{\frac{1}{x^2}-1}-\frac{1}{x}\right)[/inlmath], transformiše se na sledeći način:
[dispmath]\sqrt{\frac{1}{x^2}-1}-\frac{1}{x}=\sqrt{\frac{1-x^2}{x^2}}-\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{x^2}}\sqrt{1-x^2}-\frac{1}{x}=\\
=\frac{1}{\left|x\right|}\sqrt{1-x^2}-\frac{1}{x}=\frac{\text{sgn }x}{x}\sqrt{1-x^2}-\frac{1}{x}=\frac{1}{x}\left(\sqrt{1-x^2}\text{sgn }x-1\right)[/dispmath]
Za drugi činilac, kako je već i pokazano, dobije se [inlmath]\frac{\sqrt{1-x^2}+1}{x}[/inlmath], tako da će proizvod ova dva činilaca biti
[dispmath]\frac{1}{x}\left(\sqrt{1-x^2}\text{sgn }x-1\right)\cdot\frac{\sqrt{1-x^2}+1}{x}[/dispmath]
I onda, za [inlmath]x>0[/inlmath], biće [inlmath]\text{sgn }x=1[/inlmath], pa će se izraz svesti na [inlmath]-1[/inlmath].
Međutim, za [inlmath]x<0[/inlmath], biće [inlmath]\text{sgn }x=-1[/inlmath], pa se izraz svodi na
[dispmath]\frac{1}{x}\left(-\sqrt{1-x^2}-1\right)\cdot\frac{\sqrt{1-x^2}+1}{x}=-\frac{\left(\sqrt{1-x^2}+1\right)^2}{x^2}[/dispmath]
a taj izraz svakako nije [inlmath]-1[/inlmath], niti bilo kakva konstanta, već zavisi od [inlmath]x[/inlmath].

Inače, na osnovu uslova definisanosti dobije se da [inlmath]x[/inlmath] mora pripadati intervalu [inlmath]\left[-1,0\right)\cup\left(0,1\right)[/inlmath], ali ne sledi da ne sme biti manje od nule. Tako da je očigledno u tekstu zadatka greška, moralo je biti naglašeno da je [inlmath]x[/inlmath] pozitivno, kako bi ceo taj izraz bio jednak [inlmath]-1[/inlmath].

sad vidim da sam napisao "početne uslove za [inlmath]x[/inlmath]", pa po tome ispada da sam ovo rješavao kao jednačinu, a zapravo sam pretpostavio da si pazila na početni uslov da bude zadovoljeno [inlmath]\sqrt{x^2}=x[/inlmath], odnosno
[dispmath]\sqrt{x^2}=|x|=\begin{cases}
x, & x \ge0\\
-x, & x<0
\end{cases}[/dispmath]
pa sam na osnovu toga pretpostavio da je početni uslov [inlmath]x\in\cup(0,1)[/inlmath] koji si trebala napisati u skladu s tačkom 11. Pravilnika ili postoji greška u zadatku
p.s. u svakom slučaju početni izraz je definisan samo za vrijednosti [inlmath]x\in[-1,0)\cup(0,1)[/inlmath]

edit
@Daniel opet mi u isto vrijeme pišemo

Hvala puno.
Nije dat uslov u zadatku, verovatno su napravili gresku posto je dato samo resenje [inlmath]-1[/inlmath].