Pozdrav svima. Bio bih veoma zahvalan ukoliko bi mi neko postupno objasnio rešavanja ove jednačine. Unapred zahvalan.
[dispmath]\sqrt{x^2-1}+x\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}=0[/dispmath]
Index stranica ‹ OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ‹ ALGEBRA
Iracionalna jednačina zbirka FON
Pregled za štampanje • Pregled za štampanje svih postova u temi • 10 Posta
• Stranica 1 od 1
Iracionalna jednačina zbirka FON
od Sale » Subota, 06. Februar 2016, 23:59
- Postovi: 3
- Zahvalio se: 3 puta
- Pohvaljen: 0 puta
Re: Iracionalna jednačina zbirka FON
od Herien Wolf » Nedelja, 07. Februar 2016, 00:20
[dispmath]\sqrt{x^2-1}+x\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}=0[/dispmath]
Pre svega odredimo kada ovo moze da postoji u realnom domenu,
[dispmath]x^2-1\ge0\\
x^2\ge1\\
x\in\left(-\infty,-1\right]\cup\left[1,+\infty\right)\\
1-\frac{1}{x^2}\ge0\\
\frac{x^2-1}{x^2}\ge0,x\ne0\\
\Rightarrow\;x^2-1\ge0[/dispmath]
Dobijas sad isti uslov kao sto je vec izracunat tako da [inlmath]x\in\left(-\infty,-1\right]\cup\left[1,+\infty\right)[/inlmath], ovo znaci da [inlmath]x[/inlmath] pripada ovom skupu.
Sada mozes da pristupis sredjivanju
[dispmath]\sqrt{x^2-1}+x\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}}=0\\
\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x^2\cdot\frac{x^2-1}{x^2}}=0\\
\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x^2-1}=0\\
\sqrt{x^2-1}=0\\
x_1=1\\
x_2=-1[/dispmath]
Nadam se da je isto resenje u zbirci.
Pre svega odredimo kada ovo moze da postoji u realnom domenu,
[dispmath]x^2-1\ge0\\
x^2\ge1\\
x\in\left(-\infty,-1\right]\cup\left[1,+\infty\right)\\
1-\frac{1}{x^2}\ge0\\
\frac{x^2-1}{x^2}\ge0,x\ne0\\
\Rightarrow\;x^2-1\ge0[/dispmath]
Dobijas sad isti uslov kao sto je vec izracunat tako da [inlmath]x\in\left(-\infty,-1\right]\cup\left[1,+\infty\right)[/inlmath], ovo znaci da [inlmath]x[/inlmath] pripada ovom skupu.
Sada mozes da pristupis sredjivanju
[dispmath]\sqrt{x^2-1}+x\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}}=0\\
\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x^2\cdot\frac{x^2-1}{x^2}}=0\\
\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x^2-1}=0\\
\sqrt{x^2-1}=0\\
x_1=1\\
x_2=-1[/dispmath]
Nadam se da je isto resenje u zbirci.
Re: Iracionalna jednačina zbirka FON
od Sale » Nedelja, 07. Februar 2016, 00:25
Odnosno kako se dolazi do
[dispmath]\sqrt{x^2-1}\left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2}}\right)=0[/dispmath]
[dispmath]\sqrt{x^2-1}\left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2}}\right)=0[/dispmath]
- Postovi: 3
- Zahvalio se: 3 puta
- Pohvaljen: 0 puta
Re: Iracionalna jednačina zbirka FON
od Herien Wolf » Nedelja, 07. Februar 2016, 00:34
Nije mi sad najjasnije odakle si dobio taj izraz ? (Ja taj izraz nigde nisam naveo)
Iz koje zbirke tacno vezbas, autor i godina izdavanja?
Iz koje zbirke tacno vezbas, autor i godina izdavanja?
Re: Iracionalna jednačina zbirka FON
od Miladin Jovic » Nedelja, 07. Februar 2016, 00:41
Imamo:
[dispmath]\sqrt{x^2-1}+x\sqrt\frac{x^2-1}{x^2}=0\enspace\text{ tj. }\enspace\sqrt{x^2-1}+x\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2}}[/dispmath]
Sad samo izvučeš [inlmath]\sqrt{x^2-1}[/inlmath] kao zajednički.
[dispmath]\sqrt{x^2-1}+x\sqrt\frac{x^2-1}{x^2}=0\enspace\text{ tj. }\enspace\sqrt{x^2-1}+x\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2}}[/dispmath]
Sad samo izvučeš [inlmath]\sqrt{x^2-1}[/inlmath] kao zajednički.
Re: Iracionalna jednačina zbirka FON
od Sale » Nedelja, 07. Februar 2016, 00:47
Zbirka je sa FON-a 2015. god. Hvala na odgovoru. Veliki pozdrav
- Postovi: 3
- Zahvalio se: 3 puta
- Pohvaljen: 0 puta
Re: Iracionalna jednačina zbirka FON
od Ilija » Nedelja, 07. Februar 2016, 00:59
Zanimljivo je da je pored ova dva resenja, jednakost zadovoljenja i za svako [inlmath]x<-1[/inlmath].
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Re: Iracionalna jednačina zbirka FON
od Miladin Jovic » Nedelja, 07. Februar 2016, 01:58
U pravu je Ilija. Očito je da nismo dobili tačno rešenje. Mislim da je greška u sledećem. Ne možemo pisati [inlmath]\sqrt {x^2}=x[/inlmath]. Ovde [inlmath]x[/inlmath] može biti i negativno (iz oblasti definisanosti). Kako je po definiciji [inlmath]\sqrt{x^2}=|x|[/inlmath], mi smo automatski izgubili infotmaciju o predznaku. Postupkom za koji je Sale pitao dobili bismo tačno rešenje.
Re: Iracionalna jednačina zbirka FON
od Ilija » Nedelja, 07. Februar 2016, 02:07
[dispmath]\sqrt{x^2-1}\left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2}}\right)=0\\
\sqrt{x^2-1}=0\quad\lor\quad1+\frac{x}{\sqrt{x^2}}=0\\
x=\pm1\quad\lor\quad\frac{x}{|x|}=-1\\
x=\pm1\quad\lor\quad\text{sgn}(x)=-1\\
x=\pm1\quad\lor\quad x<0[/dispmath]
I sad kad to korigujemo uslovom za [inlmath]x[/inlmath], dobije se [inlmath](-\infty,-1]\cup\{1\}[/inlmath].
\sqrt{x^2-1}=0\quad\lor\quad1+\frac{x}{\sqrt{x^2}}=0\\
x=\pm1\quad\lor\quad\frac{x}{|x|}=-1\\
x=\pm1\quad\lor\quad\text{sgn}(x)=-1\\
x=\pm1\quad\lor\quad x<0[/dispmath]
I sad kad to korigujemo uslovom za [inlmath]x[/inlmath], dobije se [inlmath](-\infty,-1]\cup\{1\}[/inlmath].
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Re: Iracionalna jednačina zbirka FON
od Daniel » Nedelja, 07. Februar 2016, 08:48
Još iz početnog oblika jednačine [inlmath]\sqrt{x^2-1}+x\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}=0[/inlmath] možemo uočiti (nakon postavljanja uslova definisanosti) ili da su potkorene veličine jednake nuli, ili da [inlmath]x[/inlmath] mora biti negativno.
Jer, ako potkorene veličine nisu jednake nuli, tada jednačina ima oblik [inlmath]a+bx=0[/inlmath], gde su [inlmath]a,b>0[/inlmath], a rešenje te jednačine je [inlmath]x=-\frac{a}{b}<0[/inlmath].
Prema tome, ako potkorene veličine nisu jednake nuli, tada će, pošto je [inlmath]x[/inlmath] negativno, važiti [inlmath]\sqrt{x^2}=-x[/inlmath].
@Sale, uz dobrodošlicu na ovaj forum, zamolio bih te da pročitaš naš Pravilnik. Pogotovo tačku 6. Molim te da nikad ne tražiš ceo postupak rešavanja (iako si ga sada dobio), jer to nije i ne treba da bude svrha ovog foruma. Svrha ovog foruma je da ti pomognemo oko konkretnih stvari koje ti u postupku nisu jasne, pri čemu se od tebe ipak očekuje da pokažeš neki svoj trud i neko svoje razmišljanje o načinu rešavanja zadatka.
Jer, ako potkorene veličine nisu jednake nuli, tada jednačina ima oblik [inlmath]a+bx=0[/inlmath], gde su [inlmath]a,b>0[/inlmath], a rešenje te jednačine je [inlmath]x=-\frac{a}{b}<0[/inlmath].
Prema tome, ako potkorene veličine nisu jednake nuli, tada će, pošto je [inlmath]x[/inlmath] negativno, važiti [inlmath]\sqrt{x^2}=-x[/inlmath].
@Sale, uz dobrodošlicu na ovaj forum, zamolio bih te da pročitaš naš Pravilnik. Pogotovo tačku 6. Molim te da nikad ne tražiš ceo postupak rešavanja (iako si ga sada dobio), jer to nije i ne treba da bude svrha ovog foruma. Svrha ovog foruma je da ti pomognemo oko konkretnih stvari koje ti u postupku nisu jasne, pri čemu se od tebe ipak očekuje da pokažeš neki svoj trud i neko svoje razmišljanje o načinu rešavanja zadatka.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
10 Posta
• Stranica 1 od 1
Ko je OnLine
Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 11 gostiju