MATEMANIJA

Pozdrav svima. Bio bih veoma zahvalan ukoliko bi mi neko postupno objasnio rešavanja ove jednačine. Unapred zahvalan.
[dispmath]\sqrt{x^2-1}+x\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}=0[/dispmath]

[dispmath]\sqrt{x^2-1}+x\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}=0[/dispmath]
Pre svega odredimo kada ovo moze da postoji u realnom domenu,
[dispmath]x^2-1\ge0\\
x^2\ge1\\
x\in\left(-\infty,-1\right]\cup\left[1,+\infty\right)\\
1-\frac{1}{x^2}\ge0\\
\frac{x^2-1}{x^2}\ge0,x\ne0\\
\Rightarrow\;x^2-1\ge0[/dispmath]
Dobijas sad isti uslov kao sto je vec izracunat tako da [inlmath]x\in\left(-\infty,-1\right]\cup\left[1,+\infty\right)[/inlmath], ovo znaci da [inlmath]x[/inlmath] pripada ovom skupu.
Sada mozes da pristupis sredjivanju
[dispmath]\sqrt{x^2-1}+x\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}}=0\\
\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x^2\cdot\frac{x^2-1}{x^2}}=0\\
\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x^2-1}=0\\
\sqrt{x^2-1}=0\\
x_1=1\\
x_2=-1[/dispmath]
Nadam se da je isto resenje u zbirci.

Odnosno kako se dolazi do
[dispmath]\sqrt{x^2-1}\left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2}}\right)=0[/dispmath]

Nije mi sad najjasnije odakle si dobio taj izraz ? (Ja taj izraz nigde nisam naveo)
Iz koje zbirke tacno vezbas, autor i godina izdavanja?

Imamo:
[dispmath]\sqrt{x^2-1}+x\sqrt\frac{x^2-1}{x^2}=0\enspace\text{ tj. }\enspace\sqrt{x^2-1}+x\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2}}[/dispmath]
Sad samo izvučeš [inlmath]\sqrt{x^2-1}[/inlmath] kao zajednički.

Zbirka je sa FON-a 2015. god. Hvala na odgovoru. Veliki pozdrav

Zanimljivo je da je pored ova dva resenja, jednakost zadovoljenja i za svako [inlmath]x<-1[/inlmath].

U pravu je Ilija. Očito je da nismo dobili tačno rešenje. Mislim da je greška u sledećem. Ne možemo pisati [inlmath]\sqrt {x^2}=x[/inlmath]. Ovde [inlmath]x[/inlmath] može biti i negativno (iz oblasti definisanosti). Kako je po definiciji [inlmath]\sqrt{x^2}=|x|[/inlmath], mi smo automatski izgubili infotmaciju o predznaku. Postupkom za koji je Sale pitao dobili bismo tačno rešenje.

[dispmath]\sqrt{x^2-1}\left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2}}\right)=0\\
\sqrt{x^2-1}=0\quad\lor\quad1+\frac{x}{\sqrt{x^2}}=0\\
x=\pm1\quad\lor\quad\frac{x}{|x|}=-1\\
x=\pm1\quad\lor\quad\text{sgn}(x)=-1\\
x=\pm1\quad\lor\quad x<0[/dispmath]
I sad kad to korigujemo uslovom za [inlmath]x[/inlmath], dobije se [inlmath](-\infty,-1]\cup\{1\}[/inlmath].

Još iz početnog oblika jednačine [inlmath]\sqrt{x^2-1}+x\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}=0[/inlmath] možemo uočiti (nakon postavljanja uslova definisanosti) ili da su potkorene veličine jednake nuli, ili da [inlmath]x[/inlmath] mora biti negativno.
Jer, ako potkorene veličine nisu jednake nuli, tada jednačina ima oblik [inlmath]a+bx=0[/inlmath], gde su [inlmath]a,b>0[/inlmath], a rešenje te jednačine je [inlmath]x=-\frac{a}{b}<0[/inlmath].
Prema tome, ako potkorene veličine nisu jednake nuli, tada će, pošto je [inlmath]x[/inlmath] negativno, važiti [inlmath]\sqrt{x^2}=-x[/inlmath].

---

@Sale, uz dobrodošlicu na ovaj forum, zamolio bih te da pročitaš naš Pravilnik. Pogotovo tačku 6. Molim te da nikad ne tražiš ceo postupak rešavanja (iako si ga sada dobio), jer to nije i ne treba da bude svrha ovog foruma. Svrha ovog foruma je da ti pomognemo oko konkretnih stvari koje ti u postupku nisu jasne, pri čemu se od tebe ipak očekuje da pokažeš neki svoj trud i neko svoje razmišljanje o načinu rešavanja zadatka.