MATEMANIJA

Neka je [inlmath]p[/inlmath] ceo broj i [inlmath]\displaystyle\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{4}\right][/inlmath]. Ako su [inlmath]x_1=\cos\alpha[/inlmath] i [inlmath]x_2=\sin\alpha[/inlmath] resenja jednacine [inlmath]18x^2-6(p+3)x+p(p+6)=0[/inlmath], broj uredjenih parova [inlmath](p,\alpha)[/inlmath] je?
Resenje: [inlmath]1[/inlmath].

Posto je [inlmath]x_1=\cos\alpha[/inlmath] i [inlmath]x_2=\sin\alpha[/inlmath], sledi da ce [inlmath]x_1^2+x_2^2=\cos^2\alpha+\sin\alpha=1[/inlmath].

Iz jednacine [inlmath]18x^2-6(p+3)x+p(p+6)=0[/inlmath], sledi da je [inlmath]\displaystyle x_1+x_2=\frac{p+3}{3}[/inlmath], kao i [inlmath]\displaystyle x_1x_2=\frac{p(p+6)}{18}[/inlmath], odnosno da je:
[dispmath]x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\left(\frac{p+3}{3}\right)^2-\cancel2\cdot\frac{p(p+6)}{\cancel{18}^9}=\frac{p^2+6p+9}{9}-\frac{p^2+6p}{9}=\frac{9}{9}=1[/dispmath]
sto znaci da je jednakost [inlmath]x_1^2+x_2^2=1[/inlmath] zadovoljena za svako [inlmath]p[/inlmath].

Posto [inlmath]x_1,x_2\in\mathbb{R}[/inlmath], sledi [inlmath]D\ge0[/inlmath]:
[dispmath]36\left(p^2+6p+9\right)-72\left(p^2+6p\right)\ge0\\
p^2+6p-9\le0\\
-3-3\sqrt2\le p\le-3+3\sqrt2[/dispmath]
Sta dalje?

napiso si da je [inlmath]p[/inlmath] cijeli broj iz toga vidiš koje brojeve može uzeti [inlmath]p[/inlmath], a to su [inlmath]p\in\{-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1\}[/inlmath]
a možeš izvući da je
[dispmath]\sin2\alpha=\frac{p(p+6)}{36}[/dispmath]
kako je [inlmath]\displaystyle\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{4}\right][/inlmath]
onda imamo da je [inlmath]0<\sin2\alpha\le1[/inlmath] tj.
[dispmath]0<\frac{p(p+6)}{36}\le1[/dispmath]
i iz toga izračunaš drugi interval za [inlmath]p[/inlmath], i kad nađeš presjek lako ćeš utvrditi koliko uređenih parova postoji
ja sam dobio da postoje dva uređena para, a to je za [inlmath]p\in\{-7,1\}[/inlmath]
p.s. ako sam ja dobro shvatio šta se traži u zadatku, onda sam valjda dobro uradio
a vjerujem da postoji neki lakši način da se ovo riješi

Resenje je jedan uredjen par [inlmath](p,\alpha)[/inlmath], za [inlmath]p=1[/inlmath].

dobija se da je rješenje samo [inlmath]p=1[/inlmath], ako se uzme uslov da je
[dispmath]1<\sin\alpha+\cos\alpha<\sqrt2[/dispmath]
odnosno
[dispmath]1<\frac{p+3}{3}\le\sqrt2[/dispmath]
a zašto se javila greška u prvom slučaju ne znam i mene to interesuje, a zadatak mi se učio skroz lagan,
a nadam se da primjećuješ kako smo došli do uslova
EDIT
najvjerovatnije je ovo trebalo uzeti kao treći uslov za [inlmath]p[/inlmath] i naći presjek sva tri slučaja

bole je napisao:napiso si da je [inlmath]p[/inlmath] cijeli broj iz toga vidiš koje brojeve može uzeti [inlmath]p[/inlmath], a to su [inlmath]p\in\{-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1\}[/inlmath]
a možeš izvući da je
[dispmath]\sin2\alpha=\frac{p(p+6)}{36}[/dispmath]
...

Ako je [inlmath]\displaystyle\sin\alpha\cos\alpha=\frac{p(p+6)}{18}[/inlmath] onda je [inlmath]\displaystyle\sin2\alpha=\frac{p(p+6)}{9}[/inlmath].

bole je napisao:[dispmath]0<\frac{p(p+6)}{36}\le1[/dispmath]
i iz toga izračunaš drugi interval za [inlmath]p[/inlmath], i kad nađeš presjek lako ćeš utvrditi koliko uređenih parova postoji
ja sam dobio da postoje dva uređena para, a to je za [inlmath]p\in\{-7,1\}[/inlmath]

Kako je i Miladin primetio, u imeniocu treba da se nalazi [inlmath]9[/inlmath], a ne [inlmath]36[/inlmath]. Ali, pretpostavljam da je to samo greška u kucanju/prepisivanju, budući da si dobio ispravna rešenja [inlmath]\left\{-7,1\right\}[/inlmath], kao da si radio za [inlmath]\displaystyle0<\frac{p(p+6)}{9}\le1[/inlmath].

E sad, ti ovime nisi dobio vrednosti koje predstavljaju sigurna rešenja, već si samo, da tako kažem, „suzio obruč“ mogućih rešenja, tj. dobio „kandidate“ za moguća rešenja. A ti „kandidati“ su [inlmath]p=-7[/inlmath] i [inlmath]p=1[/inlmath].

I sad nije veliki posao uvrstiti svaku od ove dve moguće vrednosti u početnu jednačinu i videti za koju vrednost će svi postavljeni uslovi biti zadovoljeni.

Imali smo već ovaj zadatak u ovoj i ovoj temi.

Zahvaljujem svima, jasnije mi je sad. Imam zbirku u kojoj resenje skoro uvek zakomplikuju bezveze, pa mi forum pomaze da resim zadatak na dosta jednostavniji i nadasve logicniji nacin.