Logaritamska jednačina

od **Jesenjin** » Sreda, 02. Mart 2016, 17:35

Može li pomoć oko jedne logaritamske jednačine?

Traži se zbir rešenja, a jednačina glasi:
[dispmath]x^{\large3-\log_{10}\frac{x}{3}}=900[/dispmath]
Hvala unapred!!!

od **desideri** » Sreda, 02. Mart 2016, 18:09

@Jesenjin,
molim te da ponovo postuješ ali uz poštovanje Tačke 6. pravilnika foruma Matemanija.
Osim svojih pokušaja, valjalo bi navesti i ponuđene rezultate ako ih imaš.
Ako nemaš ni početnu ideju, obavezno to naglasi.
U suprotnom, post će biti uklonjen.
Pozdrav.

od **Jesenjin** » Sreda, 02. Mart 2016, 18:13

Nažalost, ne znam ni kako da počnem. Koliko se sećam, zbir svih rešenja bi trebalo da bude [inlmath]130[/inlmath]. Izvinjavam se zbog nepoštovanja tačke 6.

od **pentagram142857** » Sreda, 02. Mart 2016, 20:06

[dispmath]900=30^2=30^{3-1}=30^{3-\log_{10}10}=30^{3-\log_{10}\frac{30}{3}}=x^{3-\log_{10}\frac{x}{3}}\;\Rightarrow\;x=30[/dispmath]

od **Jesenjin** » Sreda, 02. Mart 2016, 20:13

Hvala druže najlepše! Izgleda da sam loše video da se traži zbir rešenja i da je taj zbir [inlmath]130[/inlmath].

Hvala još jednom!

od **desideri** » Sreda, 02. Mart 2016, 20:21

Osim rešenja [inlmath]x_1=30[/inlmath] postoji i rešenje [inlmath]x_2=100[/inlmath].
Zbir ovih rešenja jeste [inlmath]130[/inlmath].
Ovo drugo rešenje sam relativno jednostavno dobio smenom: [inlmath]x=10^t[/inlmath].
Lako je proveriti valjanost rezultata, zamenom u polaznoj jednačini.
@Jesenjin, da li bi hteo da postuješ u kratkim crtama ovaj da kažem moj način, značilo bi ostalim korisnicima?
@Pentagram142857, kako ti je promaklo ovo drugo rešenje?

od **Ilija** » Sreda, 02. Mart 2016, 22:03

Lako je svesti na kvadratnu jednacinu:
[dispmath]\log^2x-(3+\log3)\log x+2\log3+2=0[/dispmath]
Zatim, kao sto rece @desideri, uvedemo smenu [inlmath]\log x=t[/inlmath] i resimo kvadratnu:
[dispmath]t^2-(3+\log3)t+2\log3+2=0\\\
\\\
t_1=2,\enspace t_2=1+\log3\\\
\\\
\dots\\\
\\\
x_1=100,\enspace x_2=30[/dispmath]
I iz toga je ocigledno da je [inlmath]x_1+x_2=100+30=130[/inlmath].

od **desideri** » Sreda, 02. Mart 2016, 22:26

Ilija je odgovorio u potpunosti, a ja potvrđujem rešenja pošto sam ih po drugi put proverio, upravo.
Naravno u realnom domenu, nisam ni gledao u kompleksnom.
Pretpostavljam da nisu ni tražena rešenja u kompleksnom domenu, ili u domenu specijalnih a ne elementarnih funkcija.
Zato još jedna sugestija koju stalno ponavljam:
Molim korisnike da naglase koji je nivo zadatka i koji se nivo matematike zahteva, nije isto srednja škola, prijemni, osnovne studije, master itd.
I da postavka bude precizno nakucana, naravno u Latexu.

od **Jesenjin** » Četvrtak, 03. Mart 2016, 20:46

Zahvajujem! Zadatak rešen!