MATEMANIJA

Imam pitanje nevezano konkretno za neki zadatak - kada imam recimo kvadratnu jednačinu [inlmath]x^2+15x=-50[/inlmath], mogu da prebacim [inlmath]50[/inlmath] na levu stranu i da rastavim na [inlmath](x+5)(x+10)=0[/inlmath], međutim, postoji li neka metoda kojom mogu da lakše rastavim jednačinu poput [inlmath]6x^2+19x-7=0\;\Rightarrow\;(3x-1)(2x+7)=0[/inlmath]? Zanima me ovo zato što nekad kada radim preko obrasca dobijam nezgodne brojeve, a ovako mogu odmah da dobijem uslove.

Ako su [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] koreni (resenja, nule) jednacine [inlmath]ax^2+bx+c=0[/inlmath], onda vazi [inlmath]ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)[/inlmath].

nikola011 je napisao:međutim, postoji li neka metoda kojom mogu da lakše rastavim jednačinu poput [inlmath]6x^2+19x-7=0\;\Rightarrow\;(3x-1)(2x+7)=0[/inlmath]? Zanima me ovo zato što nekad kada radim preko obrasca dobijam nezgodne brojeve, a ovako mogu odmah da dobijem uslove.

Je l' ti pricas o situaciji kada ne dobijes celobrojna resenja jednacine? Dakle, za ovu jednacinu dobices resenja [inlmath]x_1=\frac{1}{3}[/inlmath] i [inlmath]x_2=-\frac{7}{2}[/inlmath]. Odnosno prema uputstvu koje ti je @Onomatopeja dao, to bi bilo:
[dispmath]6\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x+\frac{7}{2}\right)=0[/dispmath]
I sad mozes da bi se oslobodio razlomaka, pomnoziti ove zagrade sa [inlmath]6[/inlmath], odnosno sa [inlmath]3[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath], respektivno, i dobiti upravo ovaj sredjeniji oblik:
[dispmath](3x-1)(2x+7)=0[/dispmath]

Mozda ja nisam ukapirao sta pitas, ali eto nije na odmet da neko vidi ovo.

Ja sam pitanje shvatio na drugi način – da li se kvadratni trinom može faktorisati a da se ne računaju njegove nule po formuli [inlmath]x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/inlmath].

Da, može, ako si siguran da će u faktorisanom obliku [inlmath]\left(px+q\right)\left(rx+s\right)[/inlmath] svi brojevi [inlmath]p,q,r,s[/inlmath] biti celi (i samo u tom slučaju).
Jer, tada odmah vidiš da će u polaznom kvadratnom trinomu [inlmath]ax^2+bx+c[/inlmath] slobodan član [inlmath]c[/inlmath] biti jednak proizvodu [inlmath]q\cdot s[/inlmath]. Prema tome, rastaviš slobodan član (u tvom slučaju [inlmath]-7[/inlmath]) na proste činioce (u ovom slučaju [inlmath]-7,-1,1,7[/inlmath]) i uočiš koje kombinacije u proizvodu daju taj slobodan član (u ovom slučaju to su kombinacije [inlmath]\left(-7\right)\cdot1[/inlmath] i [inlmath]\left(-1\right)\cdot7[/inlmath]).
Znači, prvi slučaj bi bio [inlmath]q=-7,\;s=1[/inlmath], a drugi [inlmath]q=-1,\;s=7[/inlmath].

Prvi slučaj, [inlmath]6x^2+19x-7=\left(px-7\right)\left(rx+1\right)[/inlmath] – odatle sledi da je
[inlmath]p\cdot r=6\\
p-7r=19[/inlmath]
Već na osnovu toga što [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]r[/inlmath] moraju biti celi brojevi, možemo suziti broj mogućih rešenja prve jednačine [inlmath]p\cdot r=6[/inlmath] na [inlmath]\left(p,r\right)=\left(-6,-1\right)[/inlmath], [inlmath]\left(p,r\right)=\left(-3,-2\right)[/inlmath], [inlmath]\left(p,r\right)=\left(-2,-3\right)[/inlmath], [inlmath]\left(p,r\right)=\left(-1,-6\right)[/inlmath], [inlmath]\left(p,r\right)=\left(1,6\right)[/inlmath], [inlmath]\left(p,r\right)=\left(2,3\right)[/inlmath], [inlmath]\left(p,r\right)=\left(3,2\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(p,r\right)=\left(6,1\right)[/inlmath].
Uvrštavanjem tih mogućih rešenja u drugu jednačinu, [inlmath]p-7r=19[/inlmath], vidimo da će ona biti zadovoljena jedino za [inlmath]\left(p,r\right)=\left(-2,-3\right)[/inlmath].
Prema tome, [inlmath]6x^2+19x-7=\left(-2x-7\right)\left(-3x+1\right)[/inlmath], što bi bilo isto kao i [inlmath]6x^2+19x-7=\left(2x+7\right)\left(3x-1\right)[/inlmath] (kad se oba faktora pomnože sa [inlmath]\left(-1\right)[/inlmath].

Za drugi slučaj, [inlmath]6x^2+19x-7=\left(px-1\right)\left(rx+7\right)[/inlmath], odmah bi se dobilo rešenje [inlmath]\left(3x-1\right)\left(2x+7\right)[/inlmath] (mislim „odmah“ – hoću reći, bez prethodnog množenja oba faktora sa [inlmath]\left(-1\right)[/inlmath]).

Ne znam koliko je ovo jednostavniji način od standardnog (možda i jeste, kad se uđe u štos), ali eto, ovde nije potrebno tražiti nule kvadratnog trinoma. Osim toga, sličan postupak „napipavanja“ može se primeniti i kod faktorisanja polinoma trećeg, pa i viših stepena, kada se zna da koeficijenti polinoma, kao i koeficijenti unutar svakog od faktora moraju biti celi brojevi.

Daniel, da, to je to! Hvala na iznimnom objašnjenju

Biće bolje da se ja držim obrasca