MATEMANIJA

Treba mi pomoc oko ove nejednacine
[dispmath]|x|^{x^2+x-2}\ge1[/dispmath]
Sada posmatram dva slucaja kada je [inlmath]0<|x|<1[/inlmath] onda je [inlmath]x^2+x-2\le0[/inlmath] i kada je [inlmath]|x|>1[/inlmath] onda je [inlmath]x^2+x-2\ge0[/inlmath]
Ja zapravo ne znam da resim ovaj "sistem":
[dispmath]0<|x|<1[/dispmath][dispmath]x^2+x-2\le0[/dispmath]

Ovaj tvoj "sistem" se rešava preko definicije apsolutne vrednosti:
[dispmath]0<|x|<1[/dispmath]
To znači ili je:
[dispmath]0<x<1[/dispmath]
Naravno za [inlmath]x>0[/inlmath]

ili je:
[dispmath]0<-x<1[/dispmath]
Naravno za [inlmath]x<0[/inlmath]

Kvadratna parobala je banalna i pretpostavljam da si našao nule, tj. [inlmath]-2[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath].
Nakon toga se traži presek ovih rešenja, vodeći računa o tome gde je parabola pozitivna a gde negativna.

Akke je napisao:Sada posmatram dva slucaja kada je [inlmath]0<|x|<1[/inlmath] onda je [inlmath]x^2+x-2\le0[/inlmath] i kada je [inlmath]|x|>1[/inlmath] onda je [inlmath]x^2+x-2\ge0[/inlmath]

Nemoj zaboraviti i slučaj [inlmath]\left|x\right|=0[/inlmath] (u ovom zadatku, doduše, taj slučaj nema rešenja, ali bi imao rešenja npr. u sličnom zadatku, [inlmath]\left|x\right|^{x^2+x+2}\le1[/inlmath]), kao i slučaj [inlmath]\left|x\right|=1[/inlmath] (koji ima rešenja [inlmath]x=-1[/inlmath] i [inlmath]x=1[/inlmath]).

Pokusao sam da uradim ali ne poklapam se sa resenjem iz zbirke. Za prvi slucaj kada je [inlmath]0<|x|\le1[/inlmath] i [inlmath]x^2+x-2\le0[/inlmath] prvo se resim apsolutnih vrednosti pa za [inlmath]x<0[/inlmath] sledi [inlmath]-1\le x<0[/inlmath] onda [inlmath]x\in[-1,0][/inlmath]
Za [inlmath]x\ge0[/inlmath] imam da je [inlmath]0<x\le1[/inlmath] tada [inlmath]x\in(0,1][/inlmath] i ostaje kvadratna jednacina [inlmath]x^2+x-2\le0[/inlmath], [inlmath]x\in[-2,1][/inlmath]
Kada uradim presek [inlmath]x\in[-1,1][/inlmath]
A za drugi slucaj [inlmath]|x|<1[/inlmath] i [inlmath]x^2+x-2\ge0[/inlmath] kada uradim presek mi je prazan skup tako da ovo moje resenje nije ni blizu onog u zbirci koje glasi
[dispmath]x\in(-\infty,-2]\cup[-1,0)\cup(0,+\infty)[/dispmath]
Uopste nisam ni siguran u ovaj moj postupak tako da ako moze mala pomoc...

Daniel je napisao:

Akke je napisao:Sada posmatram dva slucaja kada je [inlmath]0<|x|<1[/inlmath] onda je [inlmath]x^2+x-2\le0[/inlmath] i kada je [inlmath]|x|>1[/inlmath] onda je [inlmath]x^2+x-2\ge0[/inlmath]

Nemoj zaboraviti i slučaj [inlmath]\left|x\right|=0[/inlmath] (u ovom zadatku, doduše, taj slučaj nema rešenja, ali bi imao rešenja npr. u sličnom zadatku, [inlmath]\left|x\right|^{x^2+x+2}\le1[/inlmath]), kao i slučaj [inlmath]\left|x\right|=1[/inlmath] (koji ima rešenja [inlmath]x=-1[/inlmath] i [inlmath]x=1[/inlmath]).

Eto moram i da recitiram, šta ću.
Obrati pažnju kada je parabola: [inlmath]y=x^2+x-2[/inlmath] nenegativna. Zar nije za [inlmath]x\le-2[/inlmath] i za [inlmath]x\ge1[/inlmath]? Ukrsti to lepo s onim apsolutnim vrednostima.
Potvrđujem tačnost rešenja iz zbirke koje si naveo.

I ja potrvrđujem tačnost rešenja iz zbirke.

Akke je napisao:Za prvi slucaj kada je [inlmath]0<|x|{\color{red}\le}1[/inlmath]

Slučaj [inlmath]\left|x\right|=1[/inlmath] moraš razmatrati zasebno, ne smeš ga spojiti sa slučajem [inlmath]0<\left|x\right|<1[/inlmath]. Jer, kada je [inlmath]0<\left|x\right|<1[/inlmath] tada smeš logaritmovati obe strane sa [inlmath]\log_{\left|x\right|}[/inlmath], a kad je [inlmath]\left|x\right|=1[/inlmath] tada to ne smeš učiniti jer bi osnova logaritma bila jedinica (što nije dozvoljeno), već moraš jednostavnim uvrštavanjem vrednosti [inlmath]x=-1[/inlmath] i [inlmath]x=1[/inlmath] u početnu jednačinu proveriti da li je ona zadovoljena.

Akke je napisao:Za prvi slucaj kada je [inlmath]0<|x|\le1[/inlmath] i [inlmath]x^2+x-2\le0[/inlmath] prvo se resim apsolutnih vrednosti pa za [inlmath]x<0[/inlmath] sledi [inlmath]-1\le x<0[/inlmath] onda [inlmath]x\in[-1,0{\color{red}]}[/inlmath]

Ako je [inlmath]-1\le x<0[/inlmath] tada nije [inlmath]x\in[-1,0{\color{red}]}[/inlmath], već je [inlmath]x\in[-1,0{\color{red})}[/inlmath] (obla umesto uglaste zatvorene zagrade).

Samim tim, ni presek ne bi bio

Akke je napisao:Kada uradim presek [inlmath]x\in[-1,1][/inlmath]

već bi bio [inlmath]x\in\left[-1,0\right)\cup\left(0,1\right][/inlmath]. Ili, drugačije zapisano, [inlmath]x\in\left[-1,1\right]\setminus\left\{0\right\}[/inlmath]. Sve to pod pretpostavkom da ispitujemo slučaj [inlmath]0<|x|\le1[/inlmath], što sam već napisao zbog čega bi bilo pogrešno.

Akke je napisao:A za drugi slucaj [inlmath]|x|<1[/inlmath] i [inlmath]x^2+x-2\ge0[/inlmath] kada uradim presek mi je prazan skup

Za drugi slučaj nije [inlmath]\left|x\right|<1[/inlmath], već [inlmath]\left|x\right|>1[/inlmath].