MATEMANIJA

Zadano je [dispmath]\frac{2}{\left|1-\sqrt 3\right|-\left|3-\sqrt 3\right|}[/dispmath]
Gledam apsolutne vrijednosti u nazivniku i zaključujem da je prva [inlmath]-x[/inlmath], a druga [inlmath]x[/inlmath].

Dalje to raspisujem i dolazim do koraka u kojemu dobijem [dispmath]\frac{2}{-4+2\sqrt 3}[/dispmath]
Ovdje mi je logično da kratim dvojke u nazivniku i brojniku te bi mi ostalo [dispmath]\frac{1}{-4+\sqrt 3}[/dispmath]
To bi onda množio sa [dispmath]\frac{-4-\sqrt 3}{-4-\sqrt 3}[/dispmath]
i rješenje bi bilo [dispmath]{-4-\sqrt 3}[/dispmath]
Međutim u rješenjima u skripti piše da rješenje treba biti [dispmath]{-2-\sqrt 3}[/dispmath] i da sam u slučaju kraćenja trebao s dvojkom iz brojnika kratiti i četvorku i dvojku u nazivniku. To mi nije jasno. Kako je moguće da s jednim brojem u nazivniku kratim dva broja u brojniku?

Omašio si na nekoliko mesta. Ajmo redom...

Domaćin je napisao:Zadano je [dispmath]\frac{2}{\left|1-\sqrt 3\right|-\left|3-\sqrt 3\right|}[/dispmath]
Gledam apsolutne vrijednosti u nazivniku i zaključujem da je prva [inlmath]-x[/inlmath], a druga [inlmath]x[/inlmath].

Zaključivanje je u redu, mada ovde nigde ne figuriše [inlmath]x[/inlmath], pa bi bilo pravilnije reći da je izraz unutar prve apsolutne vrednosti manji od nule, pa zato prilikom oslobađanja apsolutne vrednosti stavljamo minus ispred tog izraza, dok je izraz unutar druge apsolutne vrednosti veći od nule, pa se zato kod njega jednostavno oslobađamo apsolutne vrednosti tako što umesto nje pišemo običnu zagradu. Jeste malo duža rečenica, ali je i pravilnija.

Domaćin je napisao:Dalje to raspisujem i dolazim do koraka u kojemu dobijem [dispmath]\frac{2}{-4+2\sqrt 3}[/dispmath]

Domaćin je napisao:Ovdje mi je logično da kratim dvojke u nazivniku i brojniku te bi mi ostalo [dispmath]\frac{1}{-4+\sqrt 3}[/dispmath]

E pa, nije, upravo zato jer treba da se krate i četvorka i dvojka u nazivniku, kako si kasnije i napisao. Objasniću to na kraju. Ako bismo, zasad, za trenutak pretpostavili da je ovo ispravan izraz i nastavili dalje,

Domaćin je napisao:To bi onda množio sa [dispmath]\frac{-4-\sqrt 3}{-4-\sqrt 3}[/dispmath]
i rješenje bi bilo [dispmath]{-4-\sqrt 3}[/dispmath]

U redu je što si, radi racionalizacije, to množio sa [inlmath]\frac{-4-\sqrt 3}{-4-\sqrt 3}[/inlmath], ali ne bi se dobio rezultat koji si ti dobio. Ispravan postupak bi tada bio
[dispmath]\frac{1}{-4+\sqrt 3}\cdot\frac{-4-\sqrt 3}{-4-\sqrt 3}=\frac{-4-\sqrt 3}{\left(-4\right)^2-\left(\sqrt 3\right)^2}=\frac{-4-\sqrt 3}{16-3}=\frac{-4-\sqrt 3}{13}[/dispmath]

Sad da se vratimo na ovo pitanje:

Domaćin je napisao:Međutim u rješenjima u skripti piše da rješenje treba biti [dispmath]{-2-\sqrt 3}[/dispmath] i da sam u slučaju kraćenja trebao s dvojkom iz brojnika kratiti i četvorku i dvojku u nazivniku. To mi nije jasno. Kako je moguće da s jednim brojem u nazivniku kratim dva broja u brojniku?

Kada neki izraz koji se sastoji iz više sabiraka skraćuješ nekim brojem, uvek moraš skratiti sve sabirke u tom izrazu. Ovo je posledica zakona distribucije množenja u odnosu na sabiranje. Pretpostavimo da imamo ovakav izraz, u opštim brojevima:
[dispmath]\frac{ab}{ac+ad}[/dispmath]
Ovde ne smemo [inlmath]a[/inlmath] iz brojnika skratiti samo s jednim a iz nazivnika, znači ne sme se pisati[dispmath]\frac{ab}{ac+ad}=\frac{b}{c+ad}[/dispmath]niti[dispmath]\frac{ab}{ac+ad}=\frac{b}{ac+d}[/dispmath]već se mora primeniti zakon distribucije, po kojem u nazivniku [inlmath]a[/inlmath] kao zajednički faktor za oba sabirka može izaći ispred zagrade:[dispmath]\frac{ab}{ac+ad}=\frac{ab}{a\left(c+d\right)}[/dispmath]i tek tada možemo skratiti [inlmath]a[/inlmath] u brojniku i [inlmath]a[/inlmath] u nazivniku:[dispmath]\frac{ab}{a\left(c+d\right)}=\frac{b}{c+d}[/dispmath]
Konkretno, za razlomak u ovom zadatku to bi išlo ovako:[dispmath]\frac{2}{-4+2\sqrt 3}=\frac{2}{2\left(-2+\sqrt 3\right)}=\frac{1}{-2+\sqrt 3}[/dispmath]Zatim još samo to racionalizuješ...