MATEMANIJA

kratka i jasna:
[dispmath]3^x+4^x=5^x[/dispmath] radio sam je odavno..al sad blokada, ni da pocnem

Graficki, najlakse. A, ovde je resenje vise nego ocigledno [inlmath]x=2[/inlmath].

Rešenje je [inlmath]x=2[/inlmath]. Ovo je zapravo Pitagorina teorema "karakterističnog" pravouglog trougla kod koga dužine stranica čine skup od tri uzastopna broja (čak mislim da je to jedini pravougli trougao kod koga važi navedena osobina, ali nisam sasvim siguran).
I mene bi zanimalo kako ide analitički postupak rešavanja (ako uopšte postoji).

Mozda je graficki najlakse utvrditi da nema drugih resenja sem [inlmath]x=2[/inlmath], no treba biti i vican pa nacrtati ove funkcije (tj. levu i desnu stranu jednakosti). Umesto toga, primetimo kako je [inlmath]5^x=e^{x\ln5}\neq0[/inlmath], to mozemo nasu jednacinu podeliti sa [inlmath]5^x[/inlmath] i time je svesti na
[dispmath]{\Bigl(\frac{3}{5}\Bigr)}^{\!\!\:\!\:\!\large x}+{\Bigl(\frac{4}{5}\Bigr)}^{\!\!\:\!\:\!\large x}=1.[/dispmath] Sada je „samo“ potrebno primetiti kakve su funkcije sa leve i desne strane sto se tice monotonosti, odakle ce odmah slediti da ako postoji resenje (a videli smo da postoji) da ono mora biti jedinstveno.

Dzabe kad ja ne znam kako da predstavim graficki
Miladinovo resenje mi je poznato.. Pitagora.. to je to. Takodje i mene bi zanimao postupak ako postoji za ovakav tip jednacine

Onomatopeja je napisao:Mozda je graficki najlakse utvrditi da nema drugih resenja sem [inlmath]x=2[/inlmath], no treba biti i vican pa nacrtati ove funkcije (tj. levu i desnu stranu jednakosti).

Zaista ne znam kakva vicnost treba da se nacrtaju dve obicne eksponencijalne funkcije. Jedino sto kod crtanja ova dva grafika moze biti problem, je to da ako se crta na belom papiru (bez linija ili kvadratica) i bez lenjira (sto je slucaj na prijemnom ispitu), ali opet nije ovo nesto pretesko za crtanje. Bar meni nije. Mada sumnjam da bi ovo i palo na nekom prijemnom, jer je resenje ocigledno.

Mislim, suvise je ovo jednostavan zadatak da bi se komplikovalo nekim analitickim postupkom, ukoliko postoji.

Ovo:
[dispmath]3^x+4^x=5^x[/dispmath] Ne pije vodu za [inlmath]x<2[/inlmath] niti za [inlmath]x>2[/inlmath] što ću i dokazati kada nađem vremena.
Ostaje samo [inlmath]x=2[/inlmath].
Kolega Onomatopeja je 100% u pravu.

Ilija je napisao:

Onomatopeja je napisao:Mozda je graficki najlakse utvrditi da nema drugih resenja sem [inlmath]x=2[/inlmath], no treba biti i vican pa nacrtati ove funkcije (tj. levu i desnu stranu jednakosti).

Zaista ne znam kakva vicnost treba da se nacrtaju dve obicne eksponencijalne funkcije.

Ovo na levoj strani jednačine, [inlmath]3^x+4^x[/inlmath], nije obična eksponencijalna funkcija, već je to zbir dve eksponencijalne funkcije i tu bih se složio s Onomatopejom da crtanje takve funkcije (pri čemu je potrebno još i potrefiti njen oblik u odnosu na funkciju [inlmath]5^x[/inlmath]) ne spada u baš elementarne stvari.

Međutim, ako želimo da rešavamo grafički, možemo (što je Onomatopeja već i uradio) podeliti obe strane sa [inlmath]5^x[/inlmath] i dobiti, dakle,
[dispmath]\left(\frac{3}{5}\right)^x+\left(\frac{4}{5}\right)^x=1[/dispmath] pri čemu je način koji je Onomatopeja dalje pokazao zaista, po meni, najjednostavniji mogući, ali ako želimo grafički, tada jedan od ova dva sabirka na levoj strani prebacimo na desnu,
[dispmath]\left(\frac{3}{5}\right)^x=1-\left(\frac{4}{5}\right)^x[/dispmath] i ovo je sad daleko jednostavnije za crtanje grafika nego onaj početni oblik jednačine. Funkciju na levoj strani, [inlmath]\displaystyle\left(\frac{3}{5}\right)^x[/inlmath], nije problem nacrtati, a što se tiče funkcije na desnoj strani, znamo kako bi izgledao grafik funkcije [inlmath]\displaystyle f_1\left(x\right)=\left(\frac{4}{5}\right)^x[/inlmath], zatim znamo da bi grafik funkcije [inlmath]\displaystyle f_2\left(x\right)=-\left(\frac{4}{5}\right)^x=-f_1\left(x\right)[/inlmath] bio lik u ogledalu grafika [inlmath]f_1\left(x\right)[/inlmath] u odnosu na [inlmath]x[/inlmath]-osu, dok bi grafik funkcije [inlmath]\displaystyle f_3\left(x\right)=1-\left(\frac{4}{5}\right)^x=f_2\left(x\right)+1[/inlmath] bio u odnosu na grafik [inlmath]f_2\left(x\right)[/inlmath] pomeren prema gore za [inlmath]1[/inlmath].

Nakon skiciranja oba grafika (i za levu i za desnu stranu) biće jasno da oni imaju presečnu tačku u prvom kvadrantu, što znači da jednačina ima samo jedno rešenje i da je to rešenje pozitivno.

Pošto je [inlmath]x=2[/inlmath] očigledno rešenje ove jednačine, ovime je dokazano da drugo rešenje ne postoji.

Ja sam taj zadatak imao na opštinskom takmičenju i ne znam kako ga se sećam jer je to bilo 92-e otprilike.

Ilija je napisao:Mada sumnjam da bi ovo i palo na nekom prijemnom, jer je resenje ocigledno.

Verovao ili ne – „palo“ je. I to, ni manje ni više, nego na prijemnom za ETF.

Kreativna katedra za matematiku.