MATEMANIJA

Prijemni ispit MATF - 29. jun 2015.
6. zadatak

Ne bih da postanem dosadan sa zadacima sa prijemnih ispita, ali i ovaj nalazim interesantnim, a slican nisam nasao na forumu, pa reko da postavim mozda nekom pomogne
Periodicni decimalni broj [inlmath]2,7272\ldots[/inlmath] ciji se period sastoji od dve cifre, napisan je u obliku neskrativog razlomka. Zbir brojioca i imenioca tog razlomka je?
E sad uzmemo da je neko [inlmath]x=0,727272\ldots[/inlmath], pa mnozimo sa [inlmath]100[/inlmath],
[dispmath]100x=72,727272\ldots[/dispmath][dispmath]100x=72+0,727272\ldots[/dispmath][dispmath]100x=72+x[/dispmath][dispmath]99x=72[/dispmath][dispmath]x=\frac{72}{99}=\frac{8}{11}[/dispmath] zatim dodamo [inlmath]2[/inlmath]
[dispmath]2+\frac{8}{11}=\frac{30}{11}[/dispmath]
[dispmath]30+11=41[/dispmath]

JohnLocke je napisao:Ne bih da postanem dosadan sa zadacima sa prijemnih ispita

Taman posla. Naprotiv!

Mogli smo, doduše, i sâm taj broj koji je zadat proglasiti za [inlmath]x[/inlmath]. Pa onda:
[dispmath]x=2,7272\ldots\\
100x=272,72\ldots\\
100x-x=270\\
99x=270\quad/:9\\
11x=30\\
x=\frac{30}{11}[/dispmath]
Po meni, još jednostavnije.

Koga zanima opšti postupak pretvaranja decimalnih brojeva u razlomke, preporučujem mu ovu temu.

Moze ovo i preko sume beskonacnog reda, ali cemu bespotrebno komplikovanje, sto bih ja rekao.