MATEMANIJA

Mučim se sa ispitnim zadatkom. U pitanju je eksponencijalna nejednačina i to sa realnim parametrom.
[dispmath]\left(4x^2-10x+7\right)^{ax^2-2x-a+1}<1[/dispmath]
Počela sam tako što sam htela da razdvojim na slučajeve - jedan kad je osnova veća od 1 a drugi slučaj kad je osnova između 0 i 1 (a pritom sam i dobila da [inlmath]x[/inlmath] ne sme biti [inlmath]3[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath] jer onda ne bi važio znak jednakosti).

U prvom slučaju sam dobila uslov za [inlmath]x[/inlmath] ([inlmath]x<2[/inlmath] unija [inlmath]x>3[/inlmath]) i krenula da rešavam nejednačinu. Došla sam do oblika
[dispmath]x_1=\frac{1+\sqrt{a^2-a+1}}{a}[/dispmath]
a drugo
[dispmath]x_2=\frac{1-\sqrt{a^2-a+1}}{a}[/dispmath]
I sad ne znam dalje...
Kako da odredim gde se nalaze ova dva [inlmath]x[/inlmath]-a u odnosu na brojeve [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath] jer trebam da presečem intervale...

Pozdrav i dobrodosla.
Zaista sve pohvale za nacin na koji si postavila zadatak i za koriscenje Latexa (vecim delom).

Jedino sto je meni za sad malo nejasno...sta ovde treba da se odradi. Da se odredi skup vrednosti parametra [inlmath]a[/inlmath], za koji je nejednakost zadovoljena, je l'?

@selena82seka,
pozdrav i od mene i dobrodošlica takođe.
Ja pretpostavljam da je u ovom zadatku potrebno odrediti [inlmath]x[/inlmath] u zavisnosti od realnog parametra [inlmath]a[/inlmath].
Da li si uzela u obzir da osnova nikada nije negativna i nikada nije nula i da li si pri dobijanju ovih svojih uslova logaritmovala izraz ili ne? Potrebno je pojašnjenje.

Kao prvo, hvala vama za dobrdošlicu...
Latex se trudim da što bolje koristim (pošto sam sad prvi put na forumu).

Da, ja nisam ni objasnila šta se traži (neće se ponoviti) : Za koje vrednosti realnog parametra [inlmath]a[/inlmath] nejednačina važi za svako [inlmath]x[/inlmath]?

- Uzela sam u obzir da osnova nije negativna i nije nula (ovde nam je osnova uvek pozitivna za svako [inlmath]x[/inlmath])
- Za dobijanje uslova nisam logaritmovala izraz već sam krenula od prvog slučaja u rešavanju eksponencijalnih nejednačina, tj. prvi slučaj mi je da je osnova veća od [inlmath]1[/inlmath] (tada dobijam uslove [inlmath]x<2[/inlmath] unija [inlmath]x>3[/inlmath]). Nakon toga sam [inlmath]1[/inlmath] napisala kao naša osnova na [inlmath]0[/inlmath] stepen i tako dobila ova dva [inlmath]x[/inlmath]-a
Drugi slučaj bi mi bio da je osnova veća od [inlmath]0[/inlmath] a manja od [inlmath]1[/inlmath]...

Upravo sam našla svoju jednu grešku - kada se postavi da je osnova veća od [inlmath]1[/inlmath] ne dobijaju se uslovi [inlmath]x<2[/inlmath] unija [inlmath]x>3[/inlmath] već
[inlmath]x<1[/inlmath] unija [inlmath]x>\frac{3}{2}[/inlmath]

Ali to ne menja činjenicu da ne znam da nastavim tu gde sam stala...

pokusaj to na ovaj nacin posmatrati...

[inlmath]4x^2-10x+7<1[/inlmath] i [inlmath]ax^2-2x-a+1\ge1[/inlmath] nejednakost je ispostovana
[inlmath]4x^2-10x+7>1[/inlmath] i [inlmath]ax^2-2x-a+1<1[/inlmath] nejednakost je ispostovana

nadji takvo [inlmath]a[/inlmath] da ovo vazi i dobices rjesenje srecno!

@selena82seka, dobrodošlica i od mene, kao i pohvale za način na koji je pitanje postavljeno.

Nakon što si u prvom slučaju (osnova veća od [inlmath]1[/inlmath]) dobila [inlmath]x_1=\frac{1-\sqrt{a^2-a+1}}{a}[/inlmath] i [inlmath]x_2=\frac{1+\sqrt{a^2-a+1}}{a}[/inlmath], potrebno je da nađeš takvu vrednost parametra [inlmath]a[/inlmath] tako da rešenje tog slučaja bude jednako uslovu tog prvog slučaja, koji glasi [inlmath]x<1\;\lor\;x>\frac{3}{2}[/inlmath].

Takođe, za onaj drugi slučaj, kada je osnova između nule i jedinice, treba da se dobije rešenje jednako uslovu tog slučaja, [inlmath]1<x<\frac{3}{2}[/inlmath], pa će onda, kao unija rešenja ova dva slučaja, da se dobije [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath], tj. da je nejednakost zadovoljena za svako [inlmath]x[/inlmath].

Pri svakom od ova dva slučaja potrebno je razmatrati podslučajeve [inlmath]a<0[/inlmath], [inlmath]a=0[/inlmath] i [inlmath]a>0[/inlmath].

Na prvi pogled dosta posla, međutim, relativno brzo se dođe do zaključka (već pri analizi jednog od ova dva slučaja) da ne postoji takvo [inlmath]a[/inlmath] koje će zadovoljavati tražene uslove. Dakle, dobiće se da je traženi skup vrednosti [inlmath]a[/inlmath] prazan skup, tj. da nema rešenja po [inlmath]a[/inlmath] koje će obezbediti da nejednačina važi za svako [inlmath]x[/inlmath].

Sinisa je napisao:[inlmath]4x^2-10x+7<1[/inlmath] i [inlmath]ax^2-2x-a+1\ge{\color{red}1}[/inlmath] nejednakost je ispostovana
[inlmath]4x^2-10x+7>1[/inlmath] i [inlmath]ax^2-2x-a+1<{\color{red}1}[/inlmath] nejednakost je ispostovana

Umesto ovih jedinica trebalo bi, valjda, da stoje nule?
Ali, s tom ispravkom, zar to nije upravo ono što je i selena82seka već navela kao svoju ideju za rešavanje zadatka?