MATEMANIJA

Registrovao sam se samo zbog ovog zadatka,i koliko god lutao po netu nisam nasao resenje tako da ste mi Vi poslednja sansa za resenje misterije
Pa da pocnemo..
Zadatak:
[dispmath]\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{3x+1}=\sqrt[3]{x-1}[/dispmath]
posle "dizanja" na treci malo sredjivanja se dobija:
[dispmath]3\sqrt[3]{x+1}\sqrt[3]{3x+1}\left(\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{3x+1}\right)=-3x-3[/dispmath]
sada primetimo da je izraz u zagradi ustvari jednak levoj strani pocetnog izraza te ga mozemo zameniti sa desnom stranom pocetnog izraza, pa se dobija:
[dispmath]\sqrt[3]{(x+1)(3x+1)(x-1)}=-(x+1)[/dispmath]
"dizemo" na treci, malo sredjujemo:
[dispmath]4x^2(x+1)=0[/dispmath]
pa je zakljucak jednostavan, postoje dva resenja [inlmath]x=-1[/inlmath] i [inlmath]x=0[/inlmath].
Ali problem je sledeci:
Nula nije resenje, sto se moze proveriti u pocetnoj jednakosti?
Pitanje:
Odakle se pojavila nula kao resenje?
Koji to uslov je trebalo primetiti a koji elimunise nulu?
Koji korak nam je "dodao" nulu kao "lazno" resenje?
P.S. Zadatak je iz krugove zbirke za drugi razred gimnazije, i tacno resenje je samo [inlmath]x=-1[/inlmath].

Najjednostavnije ćemo doći do odgovora ako to pogrešno rešenje, [inlmath]x=0[/inlmath], uvrštavamo u svaki od koraka pri rešavanju i uočimo u kom koraku jednakost počinje da važi.

Dakle, ako u početnu jednačinu [inlmath]\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{3x+1}=\sqrt[3]{x-1}[/inlmath] uvrstimo [inlmath]x=0[/inlmath], dobijamo
[dispmath]1+1=-1[/dispmath]
što je očigledno netačno.

Zatim smo obe strane digli na treći stepen. Uradimo to i s ovom (pogrešnom) jednakošću, po formuli [inlmath]\left(a+b\right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/inlmath], gde je [inlmath]a=b=1[/inlmath]:
[dispmath]\left(1+1\right)^3=\left(-1\right)^3\\
1^3+3\cdot1^2\cdot1+3\cdot1\cdot1^2+1^3=-1\\
1+3+3+1=-1\\
3+3=-1-1-1\\
3\left(1+1\right)=-3[/dispmath]
čime smo došli do onog koraka [inlmath]3\sqrt[3]{x+1}\sqrt[3]{3x+1}\left(\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{3x+1}\right)=-3x-3[/inlmath] kada u njega uvrstimo [inlmath]x=0[/inlmath].
Naravno, za jednakost [inlmath]3\left(1+1\right)=-3[/inlmath] takođe vidimo da je netačna. Međutim, ako bismo sad izraz u zagradi, [inlmath]1+1[/inlmath], prepoznali kao levu stranu početne (pogrešne) jednakosti, pa ga zamenili desnom stranom, [inlmath]-1[/inlmath], dobili bismo
[dispmath]3\cdot\left(-1\right)=-3[/dispmath]
što bi već predstavljalo tačnu jednakost.

Dakle, imali smo dve greške (jedna greška je sama pogrešna jednakost [inlmath]3\left(1+1\right)=-3[/inlmath], a druga greška je zamena [inlmath]1+1[/inlmath] sa [inlmath]-1[/inlmath]), te dve greške su se međusobno potrle, i dobili smo tačnu jednakost.

To je sve bilo za slučaj pogrešnog rešenja [inlmath]x=0[/inlmath]. Sad da se vratimo na opšti slučaj ovog koraka,
[dispmath]3\sqrt[3]{x+1}\sqrt[3]{3x+1}\left(\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{3x+1}\right)=-3x-3[/dispmath]
Problem je, dakle, nastao pri zameni izraza u zagradi, [inlmath]\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{3x+1}[/inlmath], sa [inlmath]\sqrt[3]{x-1}[/inlmath]. Tu si prevideo da [inlmath]\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{3x+1}=\sqrt[3]{x-1}[/inlmath] nije identitet, tj. ne važi za svako [inlmath]x[/inlmath], već je to samo početna jednačina, koja važi samo za određene vrednosti (ili određenu vrednost) nepoznate [inlmath]x[/inlmath]. Samim tim, primenom ovakvog postupka zaista ćeš dobiti kao rešenja sva ona koja su ispravna, ali ćeš dobiti i neka netačna rešenja, poput ove nule, upravo zbog toga što se onda dešavaju dve greške (kao što sam pokazao na gornjem primeru sa [inlmath]x=0[/inlmath]), pri čemu jedna greška, da tako kažem, „neutrališe“ drugu.

Prvo da se zahvalim na brzom odgovoru, i da se izvinEm sto sam temu postavio u pogresnu grupu.
Sada sam shvatio gde se potkrala greska u resavanju zadatka.
Dakle ako smo primorani da koristimo izraze koji nisu indetitet u celom domenu u kom trazimo resenje moramo da dodamo uslove koji ogranicavaju resenja samo na onaj domen(tacke) za koji vazi taj indetitet rizikujuci da time "odsecemo" neka sasvim validna resenja?
Moram da priznam da mi je bilo kontra intuitivno da mozemo da dodamo "resenja" jer do sada mi se desavalo da samo "usput" izgubim poneko
E, sada samo da zadatak resimo matematicki korektno ako je to moguce
[dispmath]\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{3x+1}=\sqrt[3]{x-1}[/dispmath][dispmath]\vdots[/dispmath][dispmath]\sqrt[3]{x+1}\sqrt[3]{3x+1}\left(\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{3x+1}\right)=-(x+1)[/dispmath]
sada dolazi "illegal move"-smena neindetitetom,
[dispmath]\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{3x+1}=\sqrt[3]{x-1}[/dispmath]
za [inlmath]x[/inlmath] je element iz {???}
[dispmath]\sqrt[3]{x+1}\sqrt[3]{3x+1}\sqrt[3]{x-1}=-(x+1)[/dispmath]
Pitanje je sledece: Ako zelimo da "legalizujemo" poslednji korak mi moramo da navedemo vrednosti [inlmath]x[/inlmath] za koje on vazi?
Ali, to su ujedno one vrednosti [inlmath]x[/inlmath] koje mi trazimo?
Upadamo u neku "petlju" iz koje nema izlaza?
Da li ovaj zadatak ima neki nacin resavanja koji je 100% korektan?
Mislim da nacin resavanja gde je potrebno da na kraju postupka moramo proveriti resenja nije matematicki korektan..
Jos jednom da se zahvalim na brzim i preciznim odgovorima..

RedAndWhite je napisao:Dakle ako smo primorani da koristimo izraze koji nisu indetitet u celom domenu u kom trazimo resenje moramo da dodamo uslove koji ogranicavaju resenja samo na onaj domen(tacke) za koji vazi taj indetitet rizikujuci da time "odsecemo" neka sasvim validna resenja?

Ne indetitet, već identitet.
Uopšte, ako su uslovi ispravno postavljeni, tada ne rizikujemo da „odsečemo“ validna rešenja.

RedAndWhite je napisao:Moram da priznam da mi je bilo kontra intuitivno da mozemo da dodamo "resenja" jer do sada mi se desavalo da samo "usput" izgubim poneko

I te kako ima slučajeva u kojima se može desiti da dobijemo „višak“ rešenja ako zaboravimo da postavimo odgovarajući uslov. Npr. kod jednačine [inlmath]\sqrt{x-1}=-1[/inlmath] (za koju je očigledno da nema realna rešenja), ako bismo je kvadirali bez uslova da desna strana (kao i leva) mora biti [inlmath]\ge0[/inlmath], dobili bismo [inlmath]x-1=1[/inlmath], i time dobili nepostojeće rešenje [inlmath]x=2[/inlmath].

RedAndWhite je napisao:sada dolazi "illegal move"-smena neindetitetom,
[dispmath]\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{3x+1}=\sqrt[3]{x-1}[/dispmath]
za [inlmath]x[/inlmath] je element iz {???}
[dispmath]\sqrt[3]{x+1}\sqrt[3]{3x+1}\sqrt[3]{x-1}=-(x+1)[/dispmath]
Pitanje je sledece: Ako zelimo da "legalizujemo" poslednji korak mi moramo da navedemo vrednosti [inlmath]x[/inlmath] za koje on vazi?

Ovaj korak je upravo problematičan zbog toga što ovde ne možemo odrediti vrednosti [inlmath]x[/inlmath] za koje ovo smemo da radimo. Jednakost na koju se u ovom koraku pozivamo važi samo za one vrednosti [inlmath]x[/inlmath] koje predstavljaju rešenja polazne jednačine, a za sve ostale [inlmath]x[/inlmath] ta jednakost ne važi.

RedAndWhite je napisao:Da li ovaj zadatak ima neki nacin resavanja koji je 100% korektan?

Ja bih ga, recimo, radio ovako. Nakon dizanja na treći obe strane dobili smo, dakle,
[dispmath]\cancel x+1+3\sqrt[3]{\left(x+1\right)^2\left(3x+1\right)}+3\sqrt[3]{\left(x+1\right)\left(3x+1\right)^2}+3x+1=\cancel x-1\\
\left.3\left(x+1\right)+3\sqrt[3]{\left(x+1\right)^2\left(3x+1\right)}+3\sqrt[3]{\left(x+1\right)\left(3x+1\right)^2}=0\quad\right/:3\\
x+1+\sqrt[3]{\left(x+1\right)^2\left(3x+1\right)}+\sqrt[3]{\left(x+1\right)\left(3x+1\right)^2}=0[/dispmath]
Sada podelimo obe strane sa [inlmath]\left(x+1\right)[/inlmath], ali pošto deljenje nulom nije dozvoljeno, moramo prvo proveriti da li [inlmath]\left(x+1\right)[/inlmath] može biti jednako nuli, tj. da li [inlmath]x[/inlmath] može biti [inlmath]-1[/inlmath]. To činimo tako što uvrštavamo [inlmath]x=-1[/inlmath] bilo u početnu jednačinu, bilo u ovaj poslednji korak. Vidimo da je [inlmath]x=-1[/inlmath] jedno od rešenja. Zatim ispitujemo ostala rešenja, pri čemu možemo obe strane podeliti sa [inlmath]\left(x+1\right)[/inlmath], jer za ta ostala rešenja taj faktor nije jednak nuli:
[dispmath]1+\sqrt[3]{\frac{3x+1}{x+1}}+\sqrt[3]{\left(\frac{3x+1}{x+1}\right)^2}=0[/dispmath]
Uvedemo smenu [inlmath]\sqrt[3]{\frac{3x+1}{x+1}}=t[/inlmath], čime se jednačina svodi na
[dispmath]t^2+t+1=0[/dispmath]
Pošto je diskriminanta ove kvadratne jednačine manja od nule, ova kvadratna jednačina nema rešenja, što znači da je prethodno rešenje [inlmath]x=-1[/inlmath] jedino rešenje zadate jednačine.

RedAndWhite je napisao:Mislim da nacin resavanja gde je potrebno da na kraju postupka moramo proveriti resenja nije matematicki korektan..

Možda nije najelegantniji. Ali korektan je svaki način na koji se na kraju dobiju sva tačna i nijedno netačno rešenje.

@RedAndWhite: Daniel je lepo objasnio, al evo uprosteno govoreci: ti si dobio jednacinu [inlmath]4x^2(x+1)=0[/inlmath] koja ti govori ako je nesto resenje pocetnog problema to onda mora zadovoljavati ovu jednacinu. Ali, ne vazi i obrat, tj. ako je nesto resenje ove jednacine da je onda to resenje i tvog problema. To jest, ako je [inlmath]A[/inlmath] skup resenja tvog pocetnog problema, a [inlmath]B[/inlmath] skup resenja ove jednacine, onda si dobio [inlmath]A\subseteq B[/inlmath] (ali time nemas da iz [inlmath]x\in B[/inlmath] nuzno sledi da [inlmath]x\in A[/inlmath]).

Dakle, time si dobio samo kandidate i znas da drugih resenja nema (jer ako nesto jeste resenje, onda to mora zadovoljavati jednacinu [inlmath]4x^2(x+1)=0[/inlmath]). Posle ostaje jos i provera koji od tih kandidata zaista zadovoljavaju pocetnu jednacinu.

Inace tvoj postupak je sasvim matematicki validan (naravno, ako se na kraju proveri sta zaista jesu resenja). Stavise, cesta je situacija u matematici da prvo pretpostavimo da nesto postoji i da onda vidimo sta sve to nesto mora zadovoljavati i kog oblika bi trebalo biti, a da posle iz tih osobina izvucemo da to nesto zaista jeste resenje. [valjda nisam zakomplikovao]

Zahvaljujem se na odgovorima.
Samo ako smem da ispravim kod resenja koje je ponudio Daniel (za koje smatram da je jedini korektan nacin resavanja do sada ponudjen), trebalo je da se umesto podeli jednacina sa [inlmath](x+1)[/inlmath], [inlmath](x+1)[/inlmath] izvuce ispred izraza..
Dalje ne mislim da je tehnika koju predlaze clan Onamatopeja validna, tj. odredjivanje skupa "kandidata resenja" pa da kasnije eliminisemo neka od njih.
Ne vidim po cemu se to razlikuje od pogadjanja resenja odmah startu? U ovakim izrazima mozemo vrlo lako isprobati sve cele brojeve [inlmath]-5<x<5[/inlmath] i doci do tacnih resenja, ali mislim da to ne bi bilo priznato na pismenom/prijemnom/takmicenju.
Dakle mislim da je ispravan zakljucak da ako se zadatak pazljivo resava i ako se pazi na uslove pri svakom koraku u konacnici ne sme biti ni viska ni manjka resenja.

Mozes da probas da ubacujes sve cele brojeve iz [inlmath](-5,5)[/inlmath], ali cime garantujes da nema resenja izvan tog intervala? Stavise, zasto resenje uopste mora da bude ceo broj?

Ponovo, ovo tvoje resenje (iz uvodnog posta) sasvim je validno i svaki iole razuman matematicar bi ga priznao u celosti. Ja sam pokusao da objasnim logiku koja stoji iza takvog nacina resavanja, a ako ti nesto konkretno u mom objasnjenju nije bilo jasno ti onda pitaj.

RedAndWhite je napisao:Samo ako smem da ispravim kod resenja koje je ponudio Danijel

Bio sam slobodan da ti ispravim ovu slovnu grešku, budući da su Danijel i Daniel dva različita imena. Dakle,

RedAndWhite je napisao:Samo ako smem da ispravim kod resenja koje je ponudio Daniel (za koje smatram da je jedini korektan nacin resavanja do sada ponudjen), trebalo je da se umesto podeli jednacina sa [inlmath](x+1)[/inlmath], [inlmath](x+1)[/inlmath] izvuce ispred izraza..

Nisam slučajno radio baš tako kako sam radio. Namerno nisam hteo da izvučem [inlmath]\left(x+1\right)[/inlmath] ispred izraza, jer bismo onda imali
[dispmath]\left(x+1\right)\left(1+\sqrt[3]{\frac{3x+1}{x+1}}+\sqrt[3]{\left(\frac{3x+1}{x+1}\right)^2}\right)=0[/dispmath]
pa bi za [inlmath]x=-1[/inlmath] potkorene veličine bile beskonačne, i imali bismo množenje nule (unutar prve zagrade) beskonačno velikom veličinom (unutar druge zagrade), a proizvod nule i beskonačnosti je neodređen, tj. ne mora biti nula.
Slično kao kad bismo imali primer [inlmath]x-2=0[/inlmath] (čije rešenje je očigledno [inlmath]x=2[/inlmath]), pa izvučemo [inlmath]x[/inlmath] ispred izraza na levoj strani i dobijemo [inlmath]x\left(1-\frac{2}{x}\right)=0[/inlmath]. Iako je prvi faktor [inlmath]x[/inlmath], naravno da odatle ne treba da zaključimo da je jedno od rešenja [inlmath]x=0[/inlmath], jer, iako bi za [inlmath]x=0[/inlmath] prvi faktor, [inlmath]x[/inlmath], bio jednak nuli, drugi faktor (ono što je u zagradi) bio bi beskonačan, pa bismo imali množenje nule beskonačnošću, što u rezultatu ne mora dati nulu.

Način da se obe strane jednačine podele nekim faktorom (u ovom slučaju sa [inlmath]\left(x+1\right)[/inlmath], kao što sam ja radio) sasvim je legitiman, pod uslovom da se prethodno proveri može li taj faktor biti jednak nuli i, ako može, posebno ispitati taj slučaj (kao što sam i učinio).

---

I, ova dva pitanja sam i lično mislio da postavim:

Onomatopeja je napisao:Mozes da probas da ubacujes sve cele brojeve iz [inlmath](-5,5)[/inlmath], ali cime garantujes da nema resenja izvan tog intervala?

Onomatopeja je napisao:Stavise, zasto resenje uopste mora da bude ceo broj?