MATEMANIJA

Resiti jednacinu: [inlmath]||x-1|-1|-1=0[/inlmath] koliki je zbir resenja?

[dispmath]||x-1|-1|-1=0[/dispmath]
[inlmath]1.[/inlmath] slučaj... [inlmath]x-1>0[/inlmath]
[dispmath]|x-1-1|-1=0\\
|x-2|-1=0[/dispmath]
[inlmath]a)\;x-2>0[/inlmath]
[dispmath]x-2-1=0\\
x=3[/dispmath]
[inlmath]b)\;x-2<0[/inlmath]
[dispmath]-x+2-1=0\\
x=1[/dispmath]
[inlmath]2.[/inlmath] slučaj... [inlmath]x-1<0[/inlmath]
[dispmath]|-x+1-1|-1=0\\
|-x|-1=0[/dispmath]
[inlmath]a)\;-x>0[/inlmath]
[dispmath]-x-1=0\\
x=-1[/dispmath]
[inlmath]b)\;-x<0[/inlmath]
[dispmath]x-1=0\\
x=1\mbox{ (ponovno)}[/dispmath]
[dispmath]\mbox{Rj: }3+1-1=3[/dispmath]
Nek me Daniel ispravi i/ili dopuni

EDIT: ISPRAVAK

blake je napisao:[dispmath]||x-1|-1|-1=0[/dispmath]
[inlmath]1.[/inlmath] slučaj... [inlmath]x-1\ge 0[/inlmath]
[dispmath]|x-1-1|-1=0\\
|x-2|-1=0[/dispmath]
[inlmath]a)\;x-2\ge 0[/inlmath]
[dispmath]x-2-1=0\\
x=3[/dispmath]
(ovo ispunjava i uvjet [inlmath]1.[/inlmath] slučaja i uvjet podslučaja [inlmath]a)[/inlmath])

[inlmath]b)\;x-2<0[/inlmath]
[dispmath]-x+2-1=0\\
x=1[/dispmath]
(ovo ispunjava i uvjet [inlmath]1.[/inlmath] slučaja i uvjet podslučaja [inlmath]b)[/inlmath])

[inlmath]2.[/inlmath] slučaj... [inlmath]x-1<0[/inlmath]
[dispmath]|-x+1-1|-1=0\\
|-x|-1=0[/dispmath]
[inlmath]a)\;-x\ge 0[/inlmath]
[dispmath]-x-1=0\\
x=-1[/dispmath]
(ovo ispunjava i uvjet [inlmath]2.[/inlmath] slučaja i uvjet podslučaja [inlmath]a)[/inlmath])

[inlmath]b)\;-x<0[/inlmath]
[dispmath]x-1=0\\
x=1[/dispmath]
(ovo ispunjava uvjet podslučaja [inlmath]b)[/inlmath], ali ne i [inlmath]2.[/inlmath] slučaja))
[dispmath]\mbox{Rj: }x\in\left\{-1,1,3\right\}[/dispmath]
Zbroj im je jednak [inlmath]3[/inlmath]

Nek me Daniel ispravi i/ili dopuni

Dakle, primjeti da u jednom od slučajeva moraš obuhvatiti i [inlmath]0[/inlmath] i zato se stavlja znak [inlmath]\ge[/inlmath]
Isto to vrijedi i za podslučajeve. Zatim, kad dobiješ [inlmath]x[/inlmath] - uvrštavaš ga i gledaš je li zadovoljava uvjet!
Nadam se da sam dobro ovo razumia i objasnia.

Evo i jedne fenomenalne ideje za rešavanje ovog zadatka, koju mi je Blake predložio, svaka mu čast na tome. Glavni štos je u tome da apsolutnu vrednost nekog izraza napišemo kao koren kvadrata tog izraza, što apsolutna vrednost zaista i jeste. Znači, [inlmath]\left|x\right|=\sqrt{x^2}[/inlmath].

Na taj način, zadati izraz možemo pisati kao:[dispmath]\left|\left|x-1\right|-1\right|-1=0[/dispmath][dispmath]\sqrt{\left(\left|x-1\right|-1\right)^2}-1=0[/dispmath][dispmath]\sqrt{\left[\sqrt{\left(x-1\right)^2}-1\right]^2}-1=0[/dispmath]Prvo jedinicu prebacimo na desnu stranu, pa imamo[dispmath]\sqrt{\left[\sqrt{\left(x-1\right)^2}-1\right]^2}=1[/dispmath]Sada, pošto su i leva i desna strana nenegativne, možemo ih bez problema kvadrirati, ne narušavajući jednakost:[dispmath]\left[\sqrt{\left(x-1\right)^2}-1\right]^2=1[/dispmath]Razvijemo ovaj kvadrat binoma:[dispmath]\left(x-1\right)^2-2\sqrt{\left(x-1\right)^2}+1=1[/dispmath][dispmath]\left(x-1\right)^2-2\sqrt{\left(x-1\right)^2}=0[/dispmath]Sabirak s korenom prebacujemo na desnu stranu:[dispmath]\left(x-1\right)^2=2\sqrt{\left(x-1\right)^2}[/dispmath]Pošto su obe strane jednačine nenegativne, možemo ih bez problema kvadrirati, ne narušavajući jednakost:[dispmath]\left(x-1\right)^4=4\left(x-1\right)^2[/dispmath][dispmath]\left(x-1\right)^4-4\left(x-1\right)^2=0[/dispmath][dispmath]\left(x-1\right)^2\left[\left(x-1\right)^2-4\right]=0[/dispmath][dispmath]\left(x-1\right)^2\left(x^2-2x-3\right)=0[/dispmath][dispmath]x-1=0\quad\vee\quad x^2-2x-3=0[/dispmath][dispmath]x_1=1\quad\vee\quad x_{2,3}=\frac{2\pm\sqrt{4+4\cdot 3}}{2}[/dispmath][dispmath]x_1=1\quad\vee\quad x_{2,3}=1\pm 2[/dispmath][dispmath]x_1=1\quad\vee\quad x_2=-1\quad\vee\quad x_3=3[/dispmath]
Naravno, ako se na testu traži da se zadatak uradi preko apsolutnih vrednosti, onda nemojte primenjivati ovaj način, već onako kako se zahteva.