MATEMANIJA

Pozdrav svima! Drugar i ja smo pokušali razne vrste smena pri rešavanju ovog zadatka, ali nikako ne uspevamo da ga rešimo. Bio bih Vam vrlo zahvalan na pomoći oko toga koje sve ideje treba da upotrebim.

Rešiti sistem
[dispmath]x^\left(\log_yx\right)=4[/dispmath][dispmath]y^\left(\log_xy\right)=16[/dispmath]

Mislim da sam uradio, ali mozda nije tacno posto se dobiju cudna resenja. Nakon sto logaritmujem levu i desnu stranu prve jednacine sa osnovom [inlmath]x[/inlmath] i nakon sto logaritmujem levu i desnu stranu druge jednacine sa osnovom [inlmath]y[/inlmath], dobijam:
[dispmath]\log_yx=\log_x4=z[/dispmath][dispmath]\log_xy=\log_y16=\frac{1}{z}[/dispmath]
Prva jednacina je [inlmath]z[/inlmath], a druga je [inlmath]\frac{1}{z}[/inlmath], zato sto je [inlmath]\log_yx=\frac{1}{\log_xy}[/inlmath]. Iz ove 2 jednacine dobijamo jos 4:
[dispmath]y^z=x[/dispmath][dispmath]x^z=4[/dispmath][dispmath]x^\frac{1}{z}=y[/dispmath][dispmath]y^\frac{1}{z}=16[/dispmath]
Od ovih 4 jednacina, izabracu drugu, i nju cu da stepenujem sa [inlmath]2[/inlmath]:
[dispmath]x^{2z}=16[/dispmath]
Kad ovu jednacinu uporedim sa jednacinom [inlmath]y^\frac{1}{z}=16[/inlmath], vidim da je:
[dispmath]x^{2z}=y^\frac{1}{z}[/dispmath]
Ovako dobijenu jednacinu cu da stepenujem sa [inlmath]z[/inlmath]:
[dispmath]x^{2z^2}=y[/dispmath]
Kad ovu jednacinu uporedim sa [inlmath]x^\frac{1}{z}=y[/inlmath], vidim da je:
[dispmath]x^{2z^2}=x^\frac{1}{z}\;\Rightarrow\;2z^2=\frac{1}{z}\;\Rightarrow\;z=\frac{1}{\sqrt[3]2}[/dispmath]
Onda se vracam na jednacine [inlmath]x^z=4[/inlmath] i [inlmath]y^\frac{1}{z}=16[/inlmath]:
[dispmath]x^\frac{1}{\sqrt[3]2}=4\;\Rightarrow\;x=4^\sqrt[3]2[/dispmath][dispmath]y^{\sqrt[3]2}=16\;\Rightarrow\;y=16^\frac{1}{\sqrt[3]2}[/dispmath]
Slobodno pitaj ako ti nesto nije jasno.

Potvrđujem tačnost Pentagramovih rešenja – isto sam i ja dobio.

@pentagram142857 Hvala mnogo, sve je jasno!