MATEMANIJA

[dispmath]\log_5x\cdot\log_7x=\log_57[/dispmath]

Yo-yo
[dispmath]\log_5x\cdot\log_7x=\log_57[/dispmath]
Primjeni pravilo za promjenu osnove;
[dispmath]\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}[/dispmath]
Uzmeš da je [inlmath]c=10[/inlmath] pa ga ne moraš ni pisat.
Dakle imamo
[dispmath]\frac{\log x}{\log 5}\cdot\frac{\log x}{\log 7}=\frac{\log 7}{\log 5}[/dispmath]
[dispmath]\frac{\log^2x}{\log 5\log 7}=\frac{\log 7}{\log 5}[/dispmath]
I s jedne i s druge strane znaka jednakosti možemo izbaciti djelitelj [inlmath]\log 5[/inlmath]
[dispmath]\frac{\log^2x}{\log 7}=\log 7[/dispmath]
[dispmath]\log^2x=\log^27[/dispmath]
Sada se možemo osloboditi kvadrata s obe strane, s tim da uzmeš u obzir da jedno rješenje može biti negativnog predznaka.

1)
[inlmath]\log x=\log 7[/inlmath] Antilogaritmiranje.
[inlmath]x=7[/inlmath]

2)
[inlmath]\log x=-\log 7[/inlmath]
[inlmath]\log x=\log 7^{-1}[/inlmath]
[inlmath]\log x=\log\left(\frac{1}{7}\right)[/inlmath]Antilogaritmiranje.
[inlmath]x=\frac{1}{7}[/inlmath]

1. [inlmath]2\ln x=\ln(x+2)[/inlmath] Nije mi jasan kako se stepenuje na [inlmath]e[/inlmath], ako moze da se uradi...

2. Ako je [inlmath]\log_b^2x+\log_x^2b=1,\;b>0,\;b\ne 1,\;x\ne 1[/inlmath], tada je [inlmath]x[/inlmath] jednako

3. [inlmath]2^x4^y=32 \log(x-y)^2-2\log 2=0[/inlmath] jednako je:

smAshh je napisao:1. [inlmath]2\ln x=\ln(x+2)[/inlmath] Nije mi jasan kako se stepenuje na [inlmath]e[/inlmath], ako moze da se uradi...

Ovde se koristi identitet [inlmath]e^{\ln x}=x[/inlmath].
Zbog toga, cilj stepenovanja [inlmath]e[/inlmath] je taj, da se dobije izraz oblika [inlmath]e^{\ln\left(\mathrm{nešto}\right)}[/inlmath], jer je tada taj izraz jednak tom „nešto“, tj. krate se [inlmath]e[/inlmath] i [inlmath]\ln[/inlmath]...
Kad [inlmath]e[/inlmath] digneš na izraz s leve strane i isto tako ga digneš i na izraz s desne strane, dobićeš[dispmath]e^{2\ln x}=e^{\ln\left(x+2\right)}[/dispmath]Onda ono [inlmath]2\ln x[/inlmath] napišeš kao [inlmath]\ln x^2[/inlmath], kako bi izraz sveo na [inlmath]e^{\ln\left(\mathrm{nešto}\right)}[/inlmath]...
Dobićeš kvadratnu jednačinu po [inlmath]x[/inlmath], koja će dati dva rešenja, od kojih negativno odbacuješ zbog uslova da argument logritma mora biti strogo pozitivan. Rešenje koje preostaje je [inlmath]x=2[/inlmath].

smAshh je napisao:2. Ako je [inlmath]\log_b^2x+\log_x^2b=1,\;b>0,\;b\ne 1,\;x\ne 1[/inlmath], tada je [inlmath]x[/inlmath] jednako

Ako sam dobro razumeo, zadatak bi trebalo da bude napisan ovako?[dispmath]\log_b^2x+\log_x^2b=1[/dispmath]Tako napisan, nema realnih rešenja po [inlmath]x[/inlmath]. U principu, to bi se radilo tako što se [inlmath]\log_x b[/inlmath] izrazi preko svoje recipročne vrednosti, tj. napiše se kao [inlmath]\frac{1}{\log_b x}[/inlmath], pa se uvede smena [inlmath]\log_b^2x=t[/inlmath]. Međutim, dobiće se kvadratna jednačina po [inlmath]t[/inlmath] kojoj je diskriminanta manja od nule, tako da nema realnih rešenja...

smAshh je napisao:3. [inlmath]2^x4^y=32 \log(x-y)^2-2\log 2=0[/inlmath] jednako je:

Ovde je sigurno neka greška, pošto ima dva znaka jednakosti. Pri tom, [inlmath]2^x4^y[/inlmath] nikako ne može biti jednako nuli.