MATEMANIJA

Skup resenja nejednacine [inlmath]\log_{\frac{1}{3}}x-6\log_x\frac{1}{3}+1>0[/inlmath]
Resenje je [inlmath]x\in\left(0,\frac{1}{9}\right)\cup(1,27)[/inlmath]
Sad smenom [inlmath]t=\log_3x[/inlmath] dobijam da je [inlmath]x_1=\frac{1}{9}[/inlmath] i [inlmath]x_2=27[/inlmath]
Naravno uslovi [inlmath]x\ne1[/inlmath] i [inlmath]x>0[/inlmath]
Sad me zanima kako se dobija ovaj deo [inlmath]x\in\left(0,\frac{1}{9}\right)[/inlmath]
U razgovoru sa Ilijom, dosli smo do ideje o dva slucaja zbog [inlmath]x[/inlmath] u osnovi logaritma [inlmath]0<x<1[/inlmath] i [inlmath]x>1[/inlmath].
Iz prvog slucaja dobijamo [inlmath]x\in\left(0,\frac{1}{9}\right)[/inlmath] dok iz drugog [inlmath]x\in(1,27)[/inlmath]
Jedna moja ideja bila je da "graficki" prikazu resenja za [inlmath]\log_3x[/inlmath] i [inlmath]\log_x3[/inlmath] pa da se kao napravi neka unija.

Ono sto mene zanima jeste koji je ispravan nacin za ovaj tip zadatka, da li je ovaj nacin koji ukljucuje dva slucaja ispravan ?
Postoji li neki drugi nacin?

Herien Wolf je napisao:Sad smenom [inlmath]t=\log_3x[/inlmath] dobijam da je [inlmath]x_1=\frac{1}{9}[/inlmath] i [inlmath]x_2=27[/inlmath]

To bi dobio kad bi u zadatku imao jednačinu, a ovde imaš nejednačinu. Potrebno je, dakle, da pre vraćanja smene odrediš interval u kojem se nalazi [inlmath]t[/inlmath], pa zatim, na osnovu toga, interval u kojem se nalazi [inlmath]x[/inlmath].
Dakle, nakon uvođenja smene [inlmath]\log_3x=t[/inlmath] dobiješ jednačinu
[dispmath]-t+\frac{6}{t}+1>0[/dispmath]
Da bi odavde dobio kvadratnu nejednačinu, potrebno je pomnožiti obe strane sa [inlmath]t[/inlmath]. Međutim, mora se voditi računa o predznaku [inlmath]t[/inlmath], jer kada je [inlmath]t[/inlmath] negativno, množenjem obe strane sa [inlmath]t[/inlmath] promeniće se smer znaka nejednakosti. U slučaju pozitivnog [inlmath]t[/inlmath], množenjem obe strane sa [inlmath]t[/inlmath] smer znaka nejednakosti ostaje nepromenjen.

Rešenje slučaja [inlmath]t<0[/inlmath] biće [inlmath]t\in\left(-\infty,-2\right)\cup\left(3,+\infty\right)[/inlmath], što u preseku s uslovom ovog slučaja daje [inlmath]t\in\left(-\infty,-2\right)[/inlmath]. Nakon vraćanja smene to daje [inlmath]x\in\left(0,\frac{1}{9}\right)[/inlmath].

Rešenje slučaja [inlmath]t>0[/inlmath] biće [inlmath]t\in\left(-2,3\right)[/inlmath], što u preseku s uslovom ovog slučaja daje [inlmath]t\in\left(0,3\right)[/inlmath]. Nakon vraćanja smene to daje [inlmath]x\in\left(1,27\right)[/inlmath].

Konačno rešenje je unija ova dva skupa rešenja, tj. [inlmath]x\in\left(0,\frac{1}{9}\right)\cup\left(1,27\right)[/inlmath].

Dobro vece gospodo! Imam jedno pitanje u vezi ovog zadatka.... Pozabavio bih se sa Excelom ali posto ide polako prijemni tj. za nedelju dana nikako ne stizem.... U sustini sledece je moje pitanje.

Vidim da Herien Wolf koristi smenu [inlmath]t=\log_3x[/inlmath] dok sa druge strane ja radim sledece [inlmath]t=\log_\frac{1}{3}x[/inlmath]... Da li je ovo mozda greska, i razlog sto nikako ne dobijam valjano resenje? Ako se pitate zasto bas tu smenu, vidim da je drugi deo izraza sa [inlmath]-6\log_x\frac{1}{3}[/inlmath] pa ovo pretvorim u [inlmath]-6\frac{1}{\log_\frac{1}{3}x}[/inlmath] tj. [inlmath]-\frac{6}{\log_\frac{1}{3}x}[/inlmath]... Nekako mi je jednostavnije i iskreno da vam kazem ociglednije na prvi pogled... E sad ako je ovo eventualno greska ispravicu, ukoliko nije (iskreno i ne vidim razlog zasto bi bilo netacno) u tom slucaju cu nastaviti da objasnjavam (u sto kracim crtama, naravno) sta mi to onemogucava da ga resim.

Radim ovaj zadatak jos, i posle nekoliko puta rekao bih da je mozda moja smena problem... Jer u slucaju da odredjujem skup za [inlmath]x[/inlmath] nakon smene bas u skupu gde imam [inlmath]-3[/inlmath] mi daje [inlmath]27[/inlmath], nekako nije proporcionalno i nelogicno daje vrednosti za [inlmath]x[/inlmath]... Ako ima uopste smisla ovo sto pricam.

Sasvim su ravnopravne i smena [inlmath]\log_3x=t[/inlmath] i smena [inlmath]\log_\frac{1}{3}x=t[/inlmath].
Koju god od te dve smene da uvedeš, mora se dobiti isto rešenje.

Pokusavao sam i pokusavao na svoj nacin, i dobio tacno na kraju! Hvala Daniele, odavno bih odustao da nije bilo tvoje konstatacije.