Vezbajuci iz Metodičke zbirke, naisao sam na ovaj sistem:
[dispmath]x\cdot9^{y-x}+2y\cdot3^{-x-y}=8\cdot3^{-2x+y}[/dispmath][dispmath]3x\cdot3^{2y+x}+2y\cdot3^{2x-y+1}=72\cdot9^{x-y}[/dispmath]
Resenje je skup [inlmath](2,1)[/inlmath]

Razmisljao sam da posto [inlmath]2y[/inlmath] i [inlmath]x[/inlmath] se ponavlja u prva 2 clana u obe jednacine, da ih eventualno oduzmem, ali posto nisu isti clanovi nakon [inlmath]=[/inlmath], odustao sam od toga.

Mozda sa nekom smenom, nista mi ne pada na pamet. Molim Vas za pomoc, posto mi ovakav zadatak lici na nesto sto bi bilo na prijemnom za ETF.

Uvedi smenu [inlmath]a=3^x[/inlmath] i [inlmath]b=3^y[/inlmath], odatle je i [inlmath]x=\log_3a[/inlmath] i [inlmath]y=\log_3b[/inlmath], zatim sve cinioce uz logaritme prebaci kao stepen (ona osobina logaritma), zatim saberi logaritme na levim stranama jednacina (da na levim stranama bude samo jedan logaritam), pa se oslobodis logaritma (osnova logaritma na ,,desna strana,, je broj pod logaritmom)... Zadatak je dosta gadan za sredjivanje, pa zbog toga ne mogu ja da ti uradim kao sto sam to uradio u svojoj svesci. Probaj sam.

Hvala na odgovoru pentagram, mnogo sam ti zahvalan! Pretpostavio sam da ce biti gadan za sredjivanje, nije bezveze sa zvezdicom u zbirci. Videcu sutra da ga uradim(ako uspem da ga uradim), sad sam na pisanju maturskog rada, pa ne mogu. Ali rešenja se dobijaju kako treba, zar ne?

Da, dobijaju se dobra resenja.

Dati sistem mozemo dovesti na sledeci (nadam se da taj deo nije problematican):
[dispmath]x\cdot\frac{3^{2y}}{3^{2x}}+2y\cdot\frac{1}{3^x3^y}=8\cdot\frac{3^y}{3^{2x}}\\\
\\\
3x\cdot3^{2y}3^x+6y\cdot\frac{3^{2x}}{3^y}=72\cdot\frac{3^{2x}}{3^{2y}}[/dispmath]
Nakon toga, ako prvu jednacinu pomnozimo sa [inlmath]3\cdot3^x[/inlmath], a drugu podelimo sa [inlmath]3^{2x}[/inlmath] (oba ova su razlicita od nule pa mozemo), dobijamo sistem:
[dispmath]3x\cdot\frac{3^{2y}}{3^x}+6y\cdot\frac{1}{3^y}=24\cdot\frac{3^y}{3^x}\\\
\\\
3x\cdot\frac{3^{2y}}{3^x}+6y\cdot\frac{1}{3^y}=72\cdot\frac{1}{3^{2y}}[/dispmath]
Posto vidimo da su leve strane jednake, odatle sledi da su jednake i desne:
[dispmath]24\cdot\frac{3^y}{3^x}=72\cdot\frac{1}{3^{2y}}\\
\vdots\\
3y-x=1[/dispmath]
Ovo nam nista ne znaci, jer ne mozemo jednoznacno odrediti [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]. Ali otkucah ga, kao neku mogucu ideju.

Ilija je napisao:[dispmath]\vdots\\
3y-x=1[/dispmath]
Ovo nam nista ne znaci, jer ne mozemo jednoznacno odrediti [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath].

Pa, nije da baš ništa ne znači. Uvrštavanjem [inlmath]x=3y-1[/inlmath] u neku od dve početne jednačine, nakon sređivanja dobijemo
[dispmath]11y-3=\frac{24}{3^y}[/dispmath]
Ovo je transcendentna jednačina i, kao takvu, nemoguće ju je u skupu realnih brojeva rešiti analitičkim putem, već isključivo grafički ili numerički. Međutim, ako bismo pretpostavili da je rešenje prirodan broj (što je kol'ko-tol'ko opravdana pretpostavka, budući da se u zadacima vrednosti rešenja često postavljaju tako da budu celi, a neretko i prirodni brojevi), mogli bismo ovu jednačinu rešiti i analitički.
Pošto je u tom slučaju leva strana prirodan broj, mora prirodni broj biti i desna strana. Pošto imenilac može imati jedino faktore koji su jednaki [inlmath]3[/inlmath], posmatramo faktore u brojiocu koji su jednaki [inlmath]3[/inlmath]. Rastavimo [inlmath]24[/inlmath] kao [inlmath]3\cdot8[/inlmath]:
[dispmath]11y-3=\frac{3\cdot8}{3^y}[/dispmath]
Na desnoj strani podelimo i brojilac i imenilac sa [inlmath]3[/inlmath]:
[dispmath]11y-3=\frac{8}{3^{y-1}}[/dispmath]
Pošto brojilac sada više ne sadrži faktore [inlmath]3[/inlmath], ne sme ih sadržati ni imenilac kako bi razlomak bio prirodan broj. Prema tome, [inlmath]y-1=0[/inlmath], tj. [inlmath]y=1[/inlmath], bilo bi „kandidat“ za rešenje ove jednačine. Uvrštavanjem [inlmath]y=1[/inlmath] dobijemo [inlmath]11\cdot1-3=\frac{8}{3^{1-1}}[/inlmath], to jest [inlmath]8=8[/inlmath], čime je potvrđeno da [inlmath]y=1[/inlmath] jeste rešenje ove jednačine.
Uvrštavanjem [inlmath]y=1[/inlmath] u [inlmath]3y-x=1[/inlmath] dobije se i [inlmath]x=2[/inlmath].

Budući da u jednačini [inlmath]11y-3=\frac{24}{3^y}[/inlmath] leva strana predstavlja strogo rastuću a desna strogo opadajuću funkciju, jasno je da ta jednačina ne može imati više od jednog rešenja, što znači da je [inlmath]\left(x,y\right)=\left(2,1\right)[/inlmath] jedino rešenje.

Ukoliko neko uspe da reši ovaj sistem bez pretpostavke o prirodnim brojevima u rešenju, bio bih mu vrlo zahvalan ako bi to rešenje ovde izložio.

Pentagrame, ja sam išao po tvojim instrukcijama i došao do sistema
[dispmath]\large3^{\frac{8b}{a^2}}=a^{\frac{b^2}{a^2}}b^{\frac{2}{ab}}\\
\large3^{\frac{72a^2}{b^2}}=a^{3ab^2}b^{\frac{6a^2}{b}}[/dispmath]
ali zaista ne vidim na koji način bi nam taj oblik pomogao da dođemo do rešenja?

Izvinjavam se, ipak ne moze na moj nacin da se uradi do kraja. Ja sam ustvari nasao isto ovo sto i Ilija, ali na tezi nacin. Od ove zadnje 2 jednacine koje je napisao Daniel, kad se prva stepenuje sa [inlmath]a^2b^2[/inlmath], a druga sa [inlmath]\frac{b^2}{3a}[/inlmath], dobija se:
[dispmath]3^{8b^3}=a^{b^4}b^{2ab}[/dispmath][dispmath]3^{24a}=a^{b^4}b^{2ab}[/dispmath]

[dispmath]3^{8b^3-24a}=1[/dispmath][dispmath]8b^3-24a=0[/dispmath][dispmath]b^3=3a[/dispmath]

[dispmath]b^3=3a=3^{3y}[/dispmath][dispmath]\vdots[/dispmath][dispmath]3y=x+1[/dispmath]
Posle uvodjenja smene u neku od one dve pocetne jednacine se dobija jednacina sa jednom nepoznatom, pa sam pretpostavio da ce sve da se sredi, ali sam zaboravio da je trancendentna.