MATEMANIJA

[dispmath]\sqrt[3]{20+14\sqrt2}+\sqrt[3]{20-14\sqrt2}[/dispmath]
Kako poceti resavanje ovog izraza?

Postavis da ti je taj izraz jednak [inlmath]x[/inlmath]:
[dispmath]x=\sqrt[3]{20+14\sqrt2}+\sqrt[3]{20-14\sqrt2}[/dispmath]
Onda stepenujes ovo na kub posto imas trece korene:
[dispmath]x^3=\left(\sqrt[3]{20+14\sqrt2}+\sqrt[3]{20-14\sqrt2}\right)^3[/dispmath]
Pa sredis ovaj zbir na treci stepen preko formule za kub zbira:
[dispmath]x^3=20+20+14\sqrt2-14\sqrt2+3\sqrt[3]{\left(20-14\sqrt2\right)\left(20+14\sqrt2\right)}\left(\sqrt[3]{20+14\sqrt2}+\sqrt[3]{20-14\sqrt2}\right)[/dispmath]
Sada se vidi da imas [inlmath]\left(\sqrt[3]{20+14\sqrt2}+\sqrt[3]{20-14\sqrt2}\right)[/inlmath] sa koje smo na pocetku izjednacili sa [inlmath]x[/inlmath].

Stoga je (pritom sredis zagrade u ovom trecem korenu sto je ostao jer se radi o formuli za razliku kvadrata):
[dispmath]x^3=40+3\sqrt[3]{400-392}\cdot x\\
x^3=40+3\sqrt[3]8\cdot x\\
x^3=40+6\cdot x[/dispmath]
Sve prebacis na jednu stranu:
[dispmath]x^3-6\cdot x-40=0[/dispmath]
Pa sredis izraz dodavanjem i oduzimanjem [inlmath]4x^2[/inlmath], kao i rastavljanjem [inlmath]-6\cdot x[/inlmath] :
[dispmath]x^3-16\cdot x+10\cdot x-4x^2+4x^2-40=0[/dispmath]
Izdvajanjem zajednickog cinioca dobijas: [inlmath](x-4)\left(x^2+4x+10\right)=0[/inlmath]

Posto [inlmath]x^2+4x+10[/inlmath] ne moze biti [inlmath]0[/inlmath], jer joj je determinanta manja od nule a koeficijent uz [inlmath]x^2[/inlmath] broj [inlmath]1[/inlmath], tj. pozitivan broj, pa ce za svako [inlmath]x[/inlmath] taj izraz biti uvek pozitivan.

Stoga ostaje da je [inlmath]x-4=0[/inlmath], pa je [inlmath]x=4[/inlmath] odnosno sam izraz sa pocetka jednak [inlmath]4[/inlmath].

Mozemo ovo uraditi tako sto glavnu potkorenu velicinu transformisemo da dobijemo kub zbira/razlike:
[dispmath]\sqrt[3]{20+14\sqrt2}=\sqrt[3]{8+12\sqrt2+12+2\sqrt2}=\sqrt[3]{\left(2+\sqrt2\right)^3}=2+\sqrt2\\\
\\\
\sqrt[3]{20-14\sqrt2}=\sqrt[3]{8-12\sqrt2+12-2\sqrt2}=\sqrt[3]{\left(2-\sqrt2\right)^3}=2-\sqrt2[/dispmath]
Pa ce pocetni izraz biti jednak:
[dispmath]\sqrt[3]{20+14\sqrt2}+\sqrt[3]{20-14\sqrt2}=2+\cancel{\sqrt2}+2-\cancel{\sqrt2}=2+2=4[/dispmath]

Pogledati i ovaj zadatak, vrlo je sličan.