MATEMANIJA

Postovanje, nov sam na forumu i ovo mi je prvi post pa se izvinjavam ako sam nesto pogresno napisao i postavio temu mozda pogresno. Imam problem sa ovim zadatkom jer nisam nasao nigde slican zadatak. Zadatak nije tezak ali sam ja nesto "blokirao" . Da li se u ovom zadatku radi sa smena ili se osnove svode na istu ne mogu trenutno da provalim pa molim za pomoc .
[dispmath]\log_2\left(\frac{17}{2}-\log_7x\right)=3[/dispmath]

Pozdrav, dobro došao na Matemaniju.
[dispmath]\log_2\left(\frac{17}{2}-\log_7x\right)=3\\
x>0\\
\log_2\left(\frac{17}{2}-\log_7x\right)=\log_22^3\\
\log_2\left(\frac{17}{2}-\log_7x\right)=\log_28\\
\Rightarrow\quad\frac{17}{2}-\log_7x=8\\
17-2\log_7x=16\\
2\log_7x=1\\
\log_7x^2=1\\
\Rightarrow\quad x^2=7\\
\Rightarrow\quad x=\sqrt7[/dispmath]
Negativno [inlmath]x[/inlmath] eliminišemo zbog uslova [inlmath]x>0[/inlmath]

Hvala ti puno na pomoci . Zadatak je jednostavan ali nisam mogao da se setim kako da ga resim, da li tih sedamnaest polovina da pretvaram u razlomak ili da izjednacim osnove ali nisam mogao da se setim kako da uradim jer sam danas uradio preko 30 razlicitih zadataka , juce radio u firmi ceo dan pa me glava boli od matematike. Hvala jos jednom .

Herien Wolf je koristio osobinu logaritma [inlmath]b=\log_aa^b[/inlmath], koju je primenio na desnu stranu jednačine, napisavši trojku kao [inlmath]\log_22^3[/inlmath].
Alternativno, mogli smo i levu i desnu stranu prebaciti u eksponent dvojke (zašto ne napisati i taj način):
[dispmath]2^{\large\log_2\left(\frac{17}{2}-\log_7x\right)}=2^3=8[/dispmath]
nakon čega na levu stranu jednačine primenimo osobinu [inlmath]a^{\log_ab}=b[/inlmath],
[dispmath]\frac{17}{2}-\log_7x=8[/dispmath]
na koji način ćemo raditi – isti đavo.

I, kod ovog koraka,

Herien Wolf je napisao:[dispmath]2\log_7x=1\\
\log_7x^2=1[/dispmath]

nema potrebe za korišćenjem osobine [inlmath]b\log a=\log a^b[/inlmath]. Jednostavno, u jednačini [inlmath]2\log_7x=1[/inlmath] prebacimo dvojku desno i dobijemo
[dispmath]\log_7x=\frac{1}{2}\\
x=7^{\frac{1}{2}}\\
x=\sqrt7[/dispmath]

Jos jedno pitanje za ovu jednacinu: Kako se traze intervali kod ovih jednacina?

Da je u pitanju nejednačina onda bismo mogli da tražimo intervale kojima [inlmath]x[/inlmath] pripada.
Mada u nekim zadacima ovog tipa su zadati intervali u rešenjima i onda se samo proveri da li [inlmath]x[/inlmath] pripada nekom od ponuđenih intervala.

U nekim eksponencijalnim, trigonometrijskim i logaritamskim jednacinama kao resenje samo daju interval za prijemni ispit pa mi je malo cudno da se za jednacine trazi interval. Postavio sam primer u novoj temi za eksponencijalnu jednacinu.

Mada je o tome već rečeno u toj novoj temi koju si postavio, odgovoriću i ovde – kao što ti je Wolf i odgovorio, rešenja jednačina ne mogu biti intervali, već skup nekih konkretnih vrednosti. U takvim zadacima u kojima se pita u kom intervalu pripadaju rešenja jednačine, prvo odrediš sama rešenja, a zatim ispituješ pripadnost tih rešenja svakom od ponuđenih intervala.
Npr. ako su ti dati intervali [inlmath]\left(-\infty,-3\right)[/inlmath], [inlmath]\left[-3,-1\right)[/inlmath], [inlmath]\left[-1,2\right)[/inlmath], [inlmath]\left[2,6\right)[/inlmath] i [inlmath]\left[6,+\infty\right)[/inlmath] a dobiješ rešenje [inlmath]-2[/inlmath], očigledno da to rešenje, od svih ponuđenih, pripada jedino intervalu [inlmath]\left[-3,-1\right)[/inlmath].
Ili, ako dobiješ [inlmath]2[/inlmath], to rešenje pripada jedino intervalu [inlmath]\left[2,6\right)[/inlmath].

Pretpostavljam da su odgovori ponuđeni u obliku intervala, a ne u obliku konkretnih rešenja, jer bi u ovom drugom slučaju kandidat koji polaže mogao jednostavnim uvrštavanjem svakog od ponuđenih rešenja u početnu jednačinu da dođe do tačnog odgovora, a time bi se obesmislio zadatak. Na ovaj način, kad se ponude intervali u kojima se nalazi rešenje, ta mogućnost je izbegnuta.

Hvala ti. Bitno je da sam razumeo da se interval ne trazi iz uslova kod jednacina nego da to oni ponude .