MATEMANIJA

Ranije sam naišao na zanimljiv zadatak.
[dispmath]x^{x^{x^{\cdot^{\,\cdot^{\,\cdot}}}}}=2[/dispmath]
Ja nemam ovde postupak, pretpostavio sam da je [inlmath]x=\sqrt2[/inlmath]
[dispmath]\Rightarrow\quad\sqrt2^{\sqrt2^{\sqrt2^{\cdot^{\,\cdot^{\,\cdot}}}}}=2\\
\sqrt2^2=2\\
2=2[/dispmath]
Ne znam koliko logike ovo ima al' i mene zanima kako se ovo ispravno rešava.

Ne vidim ni jedan drugi broj osim koren iz dva da moze da stoji umesto [inlmath]x[/inlmath]. Po meni je zadatak tacan.

To me podseca na ovaj zadatak:
[dispmath]\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\cdots}}}=2[/dispmath]
Ako je to isti taj zadatak, onda je tu fora da se ovo korenje prebaci kao stepen, pa da se onda koristi formula za geometrijski red.

Dakle
[dispmath]2=\sqrt2^{\sqrt2^{\sqrt2^{\sqrt2^{\cdot^{\,\cdot^{\,\cdot}}}}}}=x\\
\sqrt{2}^x=x\\
\sqrt{2}^4=4\\
2=4[/dispmath]
Problem?

Dakle, imamo
[dispmath]x^{x^{x^{\cdot^{\,\cdot^{\,\cdot}}}}}=2[/dispmath]
Logaritmujemo obe strane,
[dispmath]\log x^{x^{x^{\cdot^{\,\cdot^{\,\cdot}}}}}=\log2[/dispmath]
Na levu stranu primenimo osobinu [inlmath]\log a^b=b\cdot\log a[/inlmath],
[dispmath]x^{x^{x^{\cdot^{\,\cdot^{\,\cdot}}}}}\log x=\log2[/dispmath]
Pošto je ovo [inlmath]x^{x^{x^{\cdot^{\,\cdot^{\,\cdot}}}}}[/inlmath] po uslovu zadatka jednako dvojci, zamenimo ga dvojkom,
[dispmath]2\log x=\log2[/dispmath]
zatim dvojka pređe na desnu stranu,
[dispmath]\log x=\frac{1}{2}\log2\\
\vdots\\
\enclose{box}{x=\sqrt2}[/dispmath]

@ubavic: Problem je taj sto niz zadat sa [inlmath]a_1=x[/inlmath] i [inlmath]a_{n+1}=x^{a_n}[/inlmath] za [inlmath]n\ge1[/inlmath] konvergira ako i samo je [inlmath]e^{\large-e}\le x\le e^{1/\large e}[/inlmath].

@Daniel: Time si pokazao samo da ako resenje postoji da ono mora biti [inlmath]\sqrt2[/inlmath], no potrebno je pokazati i da postoji resenje.

@ubavic
Nisam baš razumeo šta si radio... Došao si do oblika jednačine [inlmath]\sqrt2^x=x[/inlmath] (koja bi takođe bila ispunjena za [inlmath]x=\sqrt2[/inlmath]). Ali zbog čega si onda uvrstio [inlmath]x=4[/inlmath], tj. na osnovu čega si pretpostavio da bi to bilo rešenje jednačine?

@Onomatopeja
Slažem se, imali smo baš jedan takav slučaj u ovom zadatku, ali ovde je bar vrlo lako, uvrštavanjem, proveriti da to rešenje zaista postoji (što je Wolf u početnom postu i učinio).

Daniel je napisao:@Onomatopeja
Slažem se, imali smo baš jedan takav slučaj u ovom zadatku, ali ovde je bar vrlo lako, uvrštavanjem, proveriti da to rešenje zaista postoji (što je Wolf u početnom postu i učinio).

Ne slazem se da je lako, stavise, smatram da je to najtezi deo u ovom zadatku (koji na samom pocetku i nije najkorektnije postavljen, jer imamo te tri magicne tacke). Ako je tako lako, voleo bih da mi to neko demonstrira (upravo iz tog razloga jer to nije tako lako). Ovo sto je Wolf uradio nije to sto se trazi (jer se koristi da niz koji sam spomenuo u svom proslom postu konvergira za [inlmath]x=\sqrt2[/inlmath], sto nemamo a priori).

Daniel je napisao:Nisam baš razumeo šta si radio... Došao si do oblika jednačine [inlmath]\sqrt2^x=x[/inlmath] (koja bi takođe bila ispunjena za [inlmath]x=\sqrt2[/inlmath]). Ali zbog čega si onda uvrstio [inlmath]x=4[/inlmath], tj. na osnovu čega si pretpostavio da bi to bilo rešenje jednačine?

Sad ti meni nisi jasan, ja sam nagađao sa rešenjem. Ali kako je [inlmath]x=\sqrt2[/inlmath] rešenje?

@Onomatopeja
Jeste, u pravu si, sad vidim – u tom dokazu je u jednom koraku korišćena upravo ona pretpostavka koju treba dokazati – znači, klasično „vrćenje ukrug“.

@ubavic
Aha, OK onda. Nego, nisi komentarisao rečima, tako da sam mogao samo da nagađam da si nagađao s rešenjem.
A ovo [inlmath]x=\sqrt2[/inlmath] zaboravi, zabagovah se nešto.