MATEMANIJA

Pozdrav krenuo sam da idem na pripreme za prijemni na FTN-u i danas je profesorka u jednom zadatku rekla da je [inlmath]\sqrt4=2[/inlmath] e sad ja sam mislio da je [inlmath]\sqrt4=\pm2[/inlmath] pogledao sam na matemaniji malo da nadjem nesto da potkrepi to tvrdjenje i naisao sam na deo citata od "Ubavic"-a gde je napisano:

ubavic je napisao:

Zaključujemo da su za pozitivne baze svi stepeni pozitivni, dok su za negativne baze samo parni stepeni pozitivni.

Treba napomenuti da, iako važi da je [inlmath](-a)^{2m}=a^{2m}[/inlmath], za korenovanje se, kada je [inlmath]n[/inlmath] parno, uvek uzima pozitivna vrednost: [inlmath]\sqrt[n]{a^n}=\left|a\right|[/inlmath]

Moje pitanje je da li moze neko da mi objasni zasto uzimamo samo [inlmath]+a[/inlmath] a odbacujemo [inlmath]-a[/inlmath]. Dosta trivijalno ali ce me kostati nekog zadatka ako stavim [inlmath]\pm a[/inlmath] umesto samo [inlmath]+a[/inlmath]. Zahvaljujem na utrosenom vremenu .

Koliko ja znam jedini razlog za to je jednoznačnost izraza [inlmath]\sqrt{a}[/inlmath] (možda postoji neki dublji razlog, za koji ja ne znam. Ne tvrdim da sam u potpunosti sad u pravu). Zamisli na primer izraz [inlmath]\sqrt4+\sqrt9+\sqrt{16}[/inlmath]. Po tebi bi taj izraz imao vrednost [inlmath]\pm2+\pm3+\pm4[/inlmath]. Dakle mogao bi i da ima vrednost [inlmath]2+3+4[/inlmath], ali i [inlmath]-2-3-4[/inlmath], pa možda i [inlmath]-2+3-4[/inlmath]. Svi ovi izrazi imaju različitu vrednost, i zbog toga je po dogovoru [inlmath]\sqrt[2n]{a^{2n}}=\left|a\right|[/inlmath].
Druga je stvar što jednačina [inlmath]a^2=4[/inlmath] ima dva rešenja: [inlmath]a_1=2[/inlmath] i [inlmath]a_2=-2[/inlmath].

Slično kao sa osnovnim trigonometrijskim funkcijama i njihovim inverznim funkcijama. Kodomen inverznih, npr [inlmath]\arccos[/inlmath] je ograničen samo na [inlmath]\left[0,\pi\right][/inlmath], iako je domen [inlmath]\cos[/inlmath] ceo skup realnih brojeva.

Batonja je napisao:Moje pitanje je da li moze neko da mi objasni zasto uzimamo samo [inlmath]+a[/inlmath] a odbacujemo [inlmath]-a[/inlmath].

Ovo je tačno samo ako je [inlmath]a[/inlmath] pozitivan broj. Ako je [inlmath]a[/inlmath] negativan broj, onda bismo uzimali [inlmath]-a[/inlmath] kao vrednost izraza [inlmath]\sqrt{a^2}[/inlmath]

Kvadratni koren se definise kao funkcija [inlmath]f\colon[0,\infty)\to[0,\infty)[/inlmath] koja svakom [inlmath]x[/inlmath] dodeljuje vrednost [inlmath]y[/inlmath] (tj. [inlmath]f(x)=y[/inlmath]) takvu da je [inlmath]x=y^2[/inlmath]. Naravno, iz same definicije se vidi da je [inlmath]y\ge0[/inlmath], jer smo konkretno naveli sta je kodomen. I to sve treba shvatiti kao definiciju, tj. kao nesto za sta smo se dogovorili kako cemo da gledamo.

Ukoliko bismo dozvolili da kodomen bude celo [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] i sve ostalo ostavili istim, onda bismo imali problem, jer bi tada jednacina [inlmath]x=y^2[/inlmath] imala dva resenja, a samim tim onda uopste ne bismo imali funkciju (jer, da bi nesto bilo funkcija, onda za svaku tacku iz domena mora postojati jedinstvena tacka iz kodomena u koju se ta tacka (iz domena) slika, dok ovako ne bismo znali da li [inlmath]x[/inlmath] da slikamo u [inlmath]y[/inlmath] ili [inlmath]-y[/inlmath]).

Naravno, moze se definisati i da funkcija kvadratnog korena ima kao kodomen celo [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath], ali onda bi se i u njenoj samoj definiciji moralo specifikovati da uzimamo samo nenegativna resenja.

Kao sto je @ubavic napomenuo, potpuno je druga stvar ako resavamo jednacinu [inlmath]x^2=a[/inlmath]. Ta jednacina zaista ima dva resenja, i to [inlmath]\pm\sqrt{a}[/inlmath] (naravno, za [inlmath]a\ge0[/inlmath]; za [inlmath]a<0[/inlmath] jednacina nema resenje).

Inače, sve ovo važi za korenovanje u realnom domenu. Korenovanje u kompleksnom domenu zaista daje više vrednosti, tj. [inlmath]n[/inlmath]-ti koren u kompleksnom domenu daje [inlmath]n[/inlmath] različitih (kompleksnih) vrednosti. I kod kompleksnog korenovanja bi zaista važilo npr. [inlmath]\sqrt{4}=\pm2[/inlmath].
(Tu smo i [inlmath]-2[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]4[/inlmath] posmatrali kao kompleksne brojeve.)

Ali, u realnom domenu je [inlmath]\enclose{box}{\sqrt[2n]{a^{2n}}\;\overset{\text{def}}{=\!=}\;\left|a\right|}\;\left(n\in\mathbb{N}\right)[/inlmath]

Jednakost [inlmath]\sqrt{a^2}=\left|a\right|[/inlmath] uopšte nije u suprotnosti s time da i [inlmath]a=-2[/inlmath] i [inlmath]a=2[/inlmath] predstavljaju rešenja jednačine [inlmath]a^2=4[/inlmath], a evo koji bi bio ispravan postupak:
[dispmath]a^2=4[/dispmath]
Korenujemo obe strane,
[dispmath]\sqrt{a^2}=\sqrt4[/dispmath]
Leva strana je po definiciji jednaka [inlmath]\left|a\right|[/inlmath], a desna strana je isto po definiciji jednaka [inlmath]2[/inlmath] (tj. isključivo pozitivna vrednost):
[dispmath]\left|a\right|=2[/dispmath]
I kad ovo rešimo dobije se [inlmath]a_1=-2[/inlmath] i [inlmath]a_2=2[/inlmath].

ubavic je napisao:

Batonja je napisao:Moje pitanje je da li moze neko da mi objasni zasto uzimamo samo [inlmath]+a[/inlmath] a odbacujemo [inlmath]-a[/inlmath].

Ovo je tačno samo ako je [inlmath]a[/inlmath] pozitivan broj. Ako je [inlmath]a[/inlmath] negativan broj, onda bismo uzimali [inlmath]-a[/inlmath] kao vrednost izraza [inlmath]\sqrt{a^2}[/inlmath]

Da. Evo na primeru: [inlmath]a=-3[/inlmath]. Tada je [inlmath]\sqrt{\left(-3\right)^2}=-\left(-3\right)=3[/inlmath].