od Daniel » Nedelja, 26. Jun 2016, 15:34
Ovaj zadatak nije teško rešiti ni analitičkim putem. Na osnovu prve nejednačine imamo [inlmath]\left|x^2-2x\right|<y+\frac{1}{2}[/inlmath], a pošto je leva strana [inlmath]\ge0[/inlmath], desna mora biti strogo veća od nule, tj. [inlmath]y+\frac{1}{2}>0[/inlmath], tj. [inlmath]y>-\frac{1}{2}[/inlmath], a pošto je [inlmath]y[/inlmath] ceo broj, sledi [inlmath]y\ge0[/inlmath]. Isto tako, iz druge nejednačine imamo [inlmath]\left|x-1\right|<2-y[/inlmath], pa je po istom rezonu [inlmath]2-y>0[/inlmath], tj. [inlmath]y<2[/inlmath], a pošto je [inlmath]y[/inlmath] ceo broj sledi [inlmath]y\le1[/inlmath].
Znači, već smo ovime broj mogućih vrednosti za [inlmath]y[/inlmath] suzili na [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath].
Time smo dobili dva slučaja:
[inlmath]I[/inlmath] slučaj [inlmath]y=0[/inlmath] (uvrstimo [inlmath]y=0[/inlmath] u dati sistem nejednačina):
[dispmath]\left|x^2-2x\right|<\frac{1}{2}\\
\left|x-1\right|<2[/dispmath]
[inlmath]II[/inlmath] slučaj [inlmath]y=1[/inlmath] (uvrstimo [inlmath]y=1[/inlmath] u dati sistem nejednačina):
[dispmath]\left|x^2-2x\right|-1<\frac{1}{2}\\
1+\left|x-1\right|<2[/dispmath]
to jest
[dispmath]\left|x^2-2x\right|<\frac{3}{2}\\
\left|x-1\right|<1[/dispmath]
Zatim za svaki od ta dva slučaja vrlo lako rešimo uprošćeni sistem nejednačina s jednom nepoznatom. Npr. u [inlmath]I[/inlmath] slučaju krenemo od druge nejednačine, [inlmath]\left|x-1\right|<2[/inlmath], odatle je [inlmath]-2<x-1<2[/inlmath], dodamo jedinicu na sve tri strane, [inlmath]-1<x<3[/inlmath], što daje [inlmath]0[/inlmath], [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath] kao moguće vrednosti za [inlmath]x[/inlmath]. Svaku od njih uvrstimo u prvu nejednačinu, [inlmath]\left|x^2-2x\right|<\frac{1}{2}[/inlmath], i proverimo za koje od tih vrednosti je ta prva jednačina zadovoljena.
Isto tako i za [inlmath]II[/inlmath] slučaj.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain