MATEMANIJA

Ja moram da vam se požalim.
Svim moderatorima, zaslužnim forumašima i korisnicima.
U jednoj ruskoj zbirci (postovaću naknadno i izvor) naišao sam na zadatak koji sam rešavao 5 (i slovima pet) sati. Zainatio sam se.
Rešio sam ga "nabadanjem", metodom više uzaludnih pokušaja.
Kada kažem "nabadanje", mislim na nule polinoma četvrtog stepena.
Ovo je samo fragment zadatka, garantujem tačnost pošto sam sve prethodno proverio i softverski.

Ovo je taj deo zadatka (original tj ceo zadatak bih već postovao u rubrici "Funkcije" jer se izvorno radi o ekstremumu funkcije dve promenljive, ali neću jer mi se sopstveno rešenje ovog dela zadatka ne sviđa):

Potrebno je u realnom domenu naći rešenje sistema dve jednačine sa dve promenljive:
[dispmath]2\left(y^2+1\right)-x(y+3)=0[/dispmath][dispmath]x^2-2xy-3y+1=0[/dispmath]
Ja sam svašta pokušavao, pakovao, izražavao jednu promenljivu preko druge i na kraju jako grubo i po mom mišljenju lošim putem dobio rešenje:
[dispmath]x=\frac{2}{3}[/dispmath][dispmath]y=\frac{1}{3}[/dispmath]
p.s. Napisaću i svoje uzaludne pokušaje (pre svođenja na polinom četvrtog stepena). Hteo sam da "pakujem" pa da ih nekako (te dve jednačine) saberem ili oduzmem, ali ništa.
Dobio sam rešenje, ali je postupak rogobatan i meni samom se ne sviđa.
p.p.s. Nadam se da će neko naći elegantno i kratko rešenje. Videćete kako je lep zadatak, do sada na Matemaniji (ako se ne varam) nismo imali ekstremume funkcija više promenljivih. No ponavljam, ovo je samo fragment zadatka. Sve ostalo sam uradio jako kratko, ovo je "karika koja nedostaje".

Ako podjemo od pretpostavke da je po jedna od promenljivih u svakoj od jednacina jednaka [inlmath]0[/inlmath], onda dobijamo dva podsistema, gde jedan ima kompleksna resenja (koja naravno odbacujemo), a jedan upravo ovo [inlmath]\displaystyle(x,y)=\left(\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)[/inlmath].

Nista drugo mi ne pada na pamet. A nadam se da razumete sta sam rekao.

Sasvim tačno Ilija, i ja sam na to pomišljao no ne znam da li bi se uvažilo ako bi zadatak bio na ispitu.
Kako ja da pretpostavim da su promenljive pojedinačno nula u svakoj od jednačina?
Na osnovu čega?

Pa ne deluje mi kao neki postupak koji bi se uvazio na fakultetu. Mada ne tvrdim da je tako.

Sto se tice toga kako pretpostaviti, ne znam. Meni je to palo na um kao jedna od mogucih ideja, te sam isprobao (svakako da sistem nikad nisam resavao na taj nacin).

Mislim da je najbolje da se ipak postavi ceo zadatak.

Ilija je napisao:Mislim da je najbolje da se ipak postavi ceo zadatak.

U pravu si.
Postaviću koliko sutra ceo zadak sa kompletnim rešenjem u rubriku "Funkcije".
Uradio sam ga do kraja, ali da ponovim: nedostaje elegantno rešenje ovog sistema. Ja sam to uradio za moj ukus rogobatno, baš ovaj deo.

[dispmath]x=\frac{2\left(y^2+1\right)}{y+3}\\
x\left(x-2y\right)-3y+1=0\\
\frac{2\left(y^2+1\right)}{y+3}\left(\frac{2\left(y^2+1\right)}{y+3}-2y\right)-3y+1=0\\
\frac{2\left(y^2+1\right)}{y+3}\frac{2\left(1-3y\right)}{y+3}-3y+1=0\\
\frac{4\left(y^2+1\right)\left(1-3y\right)}{\left(y+3\right)^2}+\frac{\left(1-3y\right)\left(y+3\right)^2}{\left(y+3\right)^2}=0\\
\left(1-3y\right)\frac{4\left(y^2+1\right)+\left(y+3\right)^2}{\left(y+3\right)^2}=0\\
1-3y=0\\
y=\frac{1}{3}\\
x=\frac{2}{3}[/dispmath]

Ilija je napisao:Ako podjemo od pretpostavke da je po jedna od promenljivih u svakoj od jednacina jednaka [inlmath]0[/inlmath],

Kanda se to kod ovog sistema sasvim slučajno tako potrefilo.
Lično ne vidim nikakvu logičku povezanost između izjednačavanja jedne promenljive s nulom i nalaženja rešenja za drugu promenljivu.
Pokušaj da isti postupak primeniš na, recimo, ovakav sistem
[dispmath]4\left(y^2-5\right)-x\left(y+1\right)=0\\
x^2-3xy+7y-1=0[/dispmath]
i uverićeš se da taj put neće dovesti do tačnog rešenja (rešenja ima četiri, jedno od njih je [inlmath]\left(x,y\right)=\left(4,3\right)[/inlmath], dok su preostala tri „ružna“ – ne tvrdim ni da je moguće ni da je nemoguće sistem iz ovog mog primera rešiti faktorisanjem, al' to ovde nije ni poenta).

Da, verovatno se to samo tako potrefilo. A metod resavanja zaista jeste cudan - ja bar nikad tako nisam radio, niti sam video da je neko negde tako radio. Ali razne stvari su mi tad padale na pamet (usled trazenja nekog inovativnog resenja za ovo).