MATEMANIJA

Pozdrav, ako može neka pomoć oko sledećih jednačina:

1)[inlmath]\quad\sqrt{4x-y^2}-\sqrt{y+2}=\sqrt{4x^2+y}[/inlmath]

2)[inlmath]\quad x\sqrt{x}+\sqrt{x}+1=3x[/inlmath]

3)[inlmath]\quad\sqrt{1-x^2}=4x^3-3x[/inlmath]

Evo dokle sam ja stigao u svakom primeru pa ako može pomoć za nastavak:

1)
[dispmath]\sqrt{4x-y^2}-\sqrt{y+2}=\sqrt{4x^2+y}\\
\sqrt{4x-y^2}=\sqrt{4x^2+y}+\sqrt{y+2}\\
4x-y^2=4x^2+y+y+2+2\sqrt{\left(4x^2+y\right)(y+2)}\\
\left(4x^2-4x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)+2\sqrt{\left(4x^2+y\right)(y+2)}=0\\
(2x-1)^2+(y-1)^2+2\sqrt{\left(4x^2+y\right)(y+2)}=0[/dispmath]
Da li je ovo dobar način i da li gubim neka rešenja ako sad predpostavim da je:
[dispmath](2x-1)^2=0\quad\land\quad(y-1)^2=0\quad\land\quad2\sqrt{\left(4x^2+y\right)(y+2)}=0[/dispmath]
2) Kod ove sam pokušao da kvadriram obe strane, da izvučem [inlmath]sqrt{x}[/inlmath], pokušao sam i sa nekim smenama, ali uvek zabodem na neku jednačinu trećeg ili četvrtog stepena, tu mi baš fali neka konkretna ideja ili neka "fora" koju još nisam sreo

3) nakon kvadriranja dobijamo (ovde mi postavljanje uslova deluje dosta komplikovano, možda je bolje probati rešenja u zadatoj jednačini nakon rešavanja, zbog [inlmath]4x^3-3x\ge0[/inlmath])
[dispmath]1-x^2=16x^6-24x^4+9x^2\\
16x^6-24x^4+10x^2-1=0\\
t=x^2\\
16t^3-24t^2+10t-1=0\\
t_1=\frac{1}{2}\\
t_2=\frac{2+\sqrt2}{4}\\
t_3=\frac{2-\sqrt2}{4}[/dispmath]
Ali ovo je opet preko kubne jednačine, plus ono oko probanja rešenja sad i ne deluje kao pametna ideja pošto ćemo očigledno dobiti 6 rešenja

Što se tiče prve jednačine, mislim da ne gubiš rešenja jer su svi članovi veći ili jednaki od nule. Ako se radi nad poljem realnih brojeva.

U ovoj drugoj jednačini, posle kvadriranja i prebacivanja na istu stranu dobija se
[dispmath]x^3-7x^2+7x-1=0[/dispmath]
Ako uparimo spoljašnje i unutrašnje članove imamo [inlmath]x^3-1-7x^2+7x=(x-1)\left(x^2+x+1\right)-7x(x-1)=(x-1)\left(x^2-6x+1\right)=0[/inlmath]. I dalje je trivijalno.

Najtačnije je (mada ne i najjednostavnije) na početku postaviti da su sve potkorene veličine nenegativne, tj veće ili jednake od nule.