MATEMANIJA

MATF Prijemni – 2016
7. zadatak

Ako su [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] rešenja jednačine
[dispmath]x^2−x+15=0[/dispmath] tada je
[dispmath]x_1^3+x_2^3−2x_1^2−x_2^2+x_1\cdot x_2+2x_1+x_2−15[/dispmath] jednako:
Odgovor bi trebalo da je [inlmath]1[/inlmath].
Ja sam zapocela primenom Vietovih formula i rastavljanjem zbira kubova.
[dispmath]x_1+x_2=1[/dispmath][dispmath]x_1\cdot x_2=15[/dispmath][dispmath](x_1+x_2)\left(x_1^2-x_1\cdot x_2+x_2^2\right)=1\cdot\left(x_1^2+x_2^2\right)-30[/dispmath] i onda sam to uvrstila u pocetni izraz i skratila sto sam mogla, ali ne mogu da dodjem do resenja jer dobijem neki cudan izraz sa kojim ne znam sta da radim [inlmath]\left(-x_1^2+2x_1+x_2-30\right)[/inlmath]...

Nisam radio do kraja, tako da ne znam da li nas ovo može odvesti do tačnog rešenja,
Izraz [inlmath]x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)\left(x_1^2-x_1\cdot x_2+x_2^2\right)[/inlmath] zapiši kao [inlmath](x_1+x_2)\left(x_1^2+2x_1\cdot x_2-3x_1\cdot x_2+x_2^2\right)=(x_1+x_2)\left((x_1+x_2)^2-3x_1\cdot x_2\right)[/inlmath].
Operator za množenje pišemo komandom \cdot.

misskoala je napisao:[dispmath](x_1+x_2)\left(x_1^2-x_1\cdot x_2+x_2^2\right)={\color{red}1\cdot\left(x_1^2+x_2^2\right)-30}[/dispmath]

Pre svega, ne valja ti crveno obeležen izraz. Uvrštavanjem [inlmath]x_1+x_2=1[/inlmath] i [inlmath]x_1\cdot x_2=15[/inlmath] treba da dobiješ [inlmath](x_1+x_2)\left(x_1^2-x_1\cdot x_2+x_2^2\right)=x_1^2+x_2^2-15[/inlmath]. Pokušaj da nađeš gde ti je greška, a ako ne uspeš, napiši ovde kako si radila pa ćemo ti ukazati na grešku.

Samim tim, i sledeći međurezultat,

misskoala je napisao:jer dobijem neki cudan izraz sa kojim ne znam sta da radim [inlmath]\left(-x_1^2+2x_1+x_2-30\right)[/inlmath]...

treba da glasi [inlmath]-x_1^2+2x_1+x_2-15[/inlmath].

E sad, njega napišeš na sledeći način:
[dispmath]-x_1^2+x_1+\underbrace{x_1+x_2}_1-15[/dispmath]
zatim [inlmath]-x_1^2+x_1[/inlmath] napišeš kao [inlmath]x_1(1-x_1)[/inlmath] i primetiš da je ovo u zagradi zapravo [inlmath]x_2[/inlmath] (jer je [inlmath]x_1+x_2=1[/inlmath], što je dobijeno iz Vietove formule).