MATEMANIJA

[dispmath]\frac{x\sqrt[3]x-1}{\sqrt[3]{x^2}-1}-\frac{\sqrt[3]{x^2}-1}{\sqrt[3]x-1}=6,\;(x\ne 1)[/dispmath]
Ako znate bicu zahvalnaaaa

[dispmath]\frac{x^{\frac{4}{3}}-1}{x^{\frac{2}{3}}-1}-\frac{x^{\frac{2}{3}}-1}{x^{\frac{1}{3}}-1}= 6[/dispmath]
[dispmath]\frac{(x^{\frac{2}{3}}-1)(x^{\frac{2}{3}}+1)}{x^{\frac{2}{3}}-1}-\frac{(x^{\frac{1}{3}}-1)(x^{\frac{1}{3}}+1)}{x^{\frac{1}{3}}-1}= 6[/dispmath]
[dispmath]x^{\frac{2}{3}} +1 - (x^{\frac{1}{3}} +1 ) = 6[/dispmath]
[dispmath]x^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{1}{3}}= 6[/dispmath]
Smenom [inlmath]x^{\frac{1}{3}}[/inlmath]
[inlmath]t^2-t-6=0[/inlmath]
[inlmath](t-3)(t+2)=0[/inlmath]
Odakle je [inlmath]t_1 = 3[/inlmath] i [inlmath]t_2 = -2[/inlmath]
[inlmath]x^{\frac{1}{3}}= 3[/inlmath]
[inlmath]x_1=27[/inlmath]
[inlmath]x_2= -8[/inlmath]

Milovan je napisao:[inlmath]x_1=27[/inlmath]
[inlmath]x_2= -8[/inlmath]

Samo je za [inlmath]x=27[/inlmath] cila jednadžba jednaka [inlmath]6[/inlmath]

Ne može jednačina biti jednaka [inlmath]6[/inlmath] niti jednačina može biti jednaka bilo kom broju. Jednačina je zadovoljena, ili jednačina nije zadovoljena.

Jeste, zadovoljena je jednačina i za [inlmath]x=27[/inlmath] i za [inlmath]x=-8[/inlmath].

I ja sam mislio da je samo [inlmath]x=27[/inlmath] resenje. Zar ne treba da postoji i uslov [inlmath]x\ge 0[/inlmath]?

Nije, rešenje je i [inlmath]x=-8[/inlmath]:[dispmath]\frac{\left(-8\right)\sqrt[3]{-8}-1}{\sqrt[3]{\left(-8\right)^2}-1}-\frac{\sqrt[3]{\left(-8\right)^2}-1}{\sqrt[3]{-8}-1}=\frac{\left(-8\right)\left(-2\right)-1}{\sqrt[3]{64}-1}-\frac{\sqrt[3]{64}-1}{-2-1}=[/dispmath][dispmath]=\frac{16-1}{4-1}-\frac{4-1}{-3}=\frac{15}{3}-\frac{3}{-3}=5-\left(-1\right)=6[/dispmath]Ne, ne treba da postoji uslov [inlmath]x\ge 0[/inlmath], jer se ovde radi o kubnom, a ne o kvadratnom korenu. Kubni koren negativnog broja postoji, za razliku od kvadratnog korena negativnog broja.

Pa da, kubni koren

Lažna uzbuna

Što se tiče Wolframalphe, rekô mi Milovan za štos – ispod polja za unos podataka vam ispiše
„Assuming the principal root | Use the real‐valued root instead“
Kliknete na „the real‐valued root“ i – voila! – tu su oba rešenja.

LINK

[dispmath]x\cdot\sqrt x + \sqrt x = 3x[/dispmath]

smAshh je napisao:[dispmath]x\cdot\sqrt x + \sqrt x = 3x[/dispmath]

Prvo se obavezno postavlja uslov [inlmath]x\ge 0[/inlmath]. Zatim treba sve grupisati na levu stranu, da na desnoj ostane nula:[dispmath]x\cdot\sqrt x+\sqrt x-3x=0[/dispmath][dispmath]\sqrt x\left(x+1-3\frac{x}{\sqrt x}\right)=0[/dispmath][dispmath]x=0\quad\lor\quad x+1-3\frac{x}{\sqrt x}=0[/dispmath]Pošto smo već postavili uslov da je [inlmath]x\ge 0[/inlmath], možemo pisati da je [inlmath]\left(\sqrt x\right)^2=\left|x\right|=x[/inlmath], nakon čega sabirak [inlmath]-3\frac{x}{\sqrt x}[/inlmath] možemo pisati kao [inlmath]-3\sqrt x[/inlmath], a zatim uvodimo smenu [inlmath]\sqrt x =t[/inlmath] i rešavamo kvadratnu jednačinu po [inlmath]t[/inlmath]...

Nastavi dalje.

Rešenja:[dispmath]x_1=0[/dispmath][dispmath]x_{2,3}=\frac{7\pm 3\sqrt 5}{2}[/dispmath]

Daniel je napisao:Pošto smo već postavili uslov da je [inlmath]x\ge 0[/inlmath], možemo pisati da je [inlmath]\left(\sqrt x\right)^2=\left|x\right|=x[/inlmath], nakon čega sabirak [inlmath]-3\frac{x}{\sqrt x}[/inlmath] možemo pisati kao [inlmath]-3\sqrt x[/inlmath], a zatim uvodimo smenu [inlmath]\sqrt x =t[/inlmath] i rešavamo kvadratnu jednačinu po [inlmath]t[/inlmath]...

Ne mogu ovo baš svatit

Pošto smo uveli uslov da je [inlmath]x\ge 0[/inlmath], tada [inlmath]x[/inlmath] možemo napisati kao [inlmath]\sqrt x\cdot \sqrt x[/inlmath]. Da je [inlmath]x<0[/inlmath], ne bismo ga mogli tako napisati, jer bi se pod korenom pojavila negativna veličina.
Znači, na primeru, [inlmath]9[/inlmath] bismo mogli napisati kao [inlmath]\sqrt 9\cdot \sqrt 9[/inlmath], tj. kao [inlmath]3\cdot 3[/inlmath], ali [inlmath]-9[/inlmath] ne bismo mogli napisati kao [inlmath]\sqrt{-9}\cdot \sqrt{-9}[/inlmath], jer bismo time izašli iz realnog domena.

E, pošto je ovde [inlmath]x\ge 0[/inlmath], tada [inlmath]x[/inlmath] možemo, dakle, pisati kao [inlmath]\sqrt x\cdot \sqrt x[/inlmath], pa i izraz [inlmath]\frac{x}{\sqrt x}[/inlmath] možemo pisati kao [inlmath]\frac{\sqrt x\cdot \sqrt x}{\sqrt x}[/inlmath], ili, posle kraćenja, kao [inlmath]\sqrt x[/inlmath].

You know it