MATEMANIJA

Moze pomoc oko ovog zadatka?

Data je jednačina [inlmath]\sqrt{2-x}=\frac{-x}{2}+a[/inlmath], gde je [inlmath]a[/inlmath] realan parametar. Tačan iskaz je
a) Za svako realno [inlmath]a[/inlmath] jednačina ima jedinstveno rešenje.
b) Jednačina ima tačno dva različita rešenja, ako i samo ako je [inlmath]a\in\left(-\infty,\frac{3}{2}\right)[/inlmath]
c) Jednačina ima tačno dva realna i različita rešenja ako i samo ako je [inlmath]a\in\left[1,\frac{3}{2}\right][/inlmath]
d) Jednačina ima tačno dva realna i različita rešenja ako i samo ako [inlmath]a\in\left[1,\frac{3}{2}\right)[/inlmath]
e) Jednačina ima više od jednog realnog rešenja ako i samo ako je [inlmath]a\in\left(\frac{3}{2},+\infty\right)[/inlmath]

Napisem jednacinu, kvadriram je, ispisem uslove, tj [inlmath]x\le 2[/inlmath], i [inlmath]a\ge 1[/inlmath]. Dobijem kvadratnu jednacinu, izvucem koeficijente i radim je, i onda dodjem do dela [inlmath]x_{1,2}=2a-2\pm 2\sqrt{3-2a}[/inlmath] i tada se postavlja uslov da je [inlmath]3-2a[/inlmath] (znaci ta determinanta, koja je pod korenom) veca od nule. E sada neka mi neko objasni zbog cega je ona veca od nule, sto nije npr veca ili jednaka od nule? Hvalaaaaaaaaaaaaaaaaaa

I da znam, da ako je determinata veca od nule, da su dva razlicita realna resenja, ako je jednaka nuli, dvostruko realno resenje i ako je manja da su resenja konjugovano komplesksni borojevi, ali zasto je ovde veca od [inlmath]0[/inlmath]?

sevdah baby je napisao:ispisem uslove, tj [inlmath]x\le 2[/inlmath], i [inlmath]a\ge 1[/inlmath].

Ovo ne razumem, zašto [inlmath]a\ge 1[/inlmath]? Postavi se uslov da je potkorena veličina veća ili jednaka od nule, to je OK, znači [inlmath]2-x\ge 0[/inlmath], tj. [inlmath]x\le 2[/inlmath], zatim, pošto je leva strana (kvadratni koren) uvek nenegativna, nenegativna mora biti i desna strana, pa je [inlmath]\frac{-x}{2}+a\ge 0[/inlmath], tj. [inlmath]x\le 2a[/inlmath], ali iz toga ne sledi da je [inlmath]a\ge 1[/inlmath].

sevdah baby je napisao:Dobijem kvadratnu jednacinu, izvucem koeficijente i radim je, i onda dodjem do dela [inlmath]x_{1,2}=2a-2\pm 2\sqrt{3-2a}[/inlmath]

To je sasvim OK, izraz je dobar, mada nije bilo potrebe da pišeš ceo izraz za [inlmath]x_{1,2}[/inlmath] (nije greška, ali je suvišno), dovoljno je napisati samo izraz za diskriminantu, budući da isključivo od diskriminante zavisi broj realnih rešenja, a to je ono što u ovom zadatku treba odrediti.

sevdah baby je napisao:i tada se postavlja uslov da je [inlmath]3-2a[/inlmath] (znaci ta determinanta, koja je pod korenom) veca od nule. E sada neka mi neko objasni zbog cega je ona veca od nule, sto nije npr veca ili jednaka od nule? Hvalaaaaaaaaaaaaaaaaaa

I da znam, da ako je determinata veca od nule, da su dva razlicita realna resenja, ako je jednaka nuli, dvostruko realno resenje i ako je manja da su resenja konjugovano komplesksni borojevi, ali zasto je ovde veca od [inlmath]0[/inlmath]?

Upravo zbog toga, što, kada je diskriminanta strogo veća od nule, imamo tačno dva realna rešenja, kako si i sama napisala. Da se tražio slučaj u kome bi jednačina imala jedno i samo jedno rešenje, diskriminantu bismo izjednačili s nulom i tražili [inlmath]a[/inlmath]. Da se tražio slučaj u kome bi jednačina imala najmanje jedno rešenje (što bi značilo da može imati jedno, ali i da može imati dva rešenja), onda bismo pisali da je diskriminanta veća ili jednaka od nule. Ali, pošto u ponuđenim odgovorima postoje isključivo uslovi da jednačina ima tačno dva rešenja, onda pišemo da je diskriminanta strogo veća od nule.

Sto se tice tog drugog uslova gde je [inlmath]x\le 2a[/inlmath], tu umesto [inlmath]x[/inlmath] ubacujem [inlmath]2[/inlmath], zbog prethodnog uslova za [inlmath]x[/inlmath], tako dobijem da je [inlmath]a\ge 1[/inlmath] Zar ne? Na kraju se iz tog uslova i dobije konacno resenje.

Pretpostavila sam da je zbog ponudjenih odgovora tu [inlmath]>0[/inlmath], ali trebali su u zadatku konkretno da navedu, koliko se trazi resenja, ali dobro

sevdah baby je napisao:Sto se tice tog drugog uslova gde je [inlmath]x\le 2a[/inlmath], tu umesto [inlmath]x[/inlmath] ubacujem [inlmath]2[/inlmath], zbog prethodnog uslova za [inlmath]x[/inlmath], tako dobijem da je [inlmath]a\ge 1[/inlmath] Zar ne? Na kraju se iz tog uslova i dobije konacno resenje.

Hm, pa, ne. Evo ti primer:
Uzmimo da je [inlmath]x=-1000[/inlmath], čime je zadovoljeno [inlmath]x\le 2[/inlmath]).
I sada, iz [inlmath]x\le 2a[/inlmath] možemo zaključiti da je [inlmath]2a\ge -1000[/inlmath], tj. [inlmath]a\ge -500[/inlmath].
A to znači da [inlmath]a[/inlmath] može biti i [inlmath]-500[/inlmath].
Prema tome, na tom primeru vidimo da ne mora biti [inlmath]a\ge 1[/inlmath].

Pretpostavljam šta tebe ovde buni.
Da smo umesto znakova nejednakosti imali znakove jednakosti, tj. [inlmath]x=2[/inlmath] i [inlmath]x=2a[/inlmath], iz toga bi zaista sledilo da je [inlmath]2=2a[/inlmath], tj. da je [inlmath]a=1[/inlmath].
Isto tako, da smo imali [inlmath]x\ge 2[/inlmath] (ovde obrati pažnju na suprotan znak od onog koji imamo u zadatku) i [inlmath]x\le 2a[/inlmath], iz toga bi zaista sledilo da je [inlmath]2a\ge x \ge 2[/inlmath], tj. da je [inlmath]2a\ge 2[/inlmath], tj. da je [inlmath]a\ge 1[/inlmath].
Ali, pošto imamo takvu, „nesrećnu“ kombinaciju znakova jednakosti, [inlmath]x\le 2[/inlmath] i [inlmath]x\le 2a[/inlmath], iz te kombinacije, što se tiče mogućih vrednosti parametra [inlmath]a[/inlmath], ne možemo zaključiti – ništa.

sevdah baby je napisao:Pretpostavila sam da je zbog ponudjenih odgovora tu [inlmath]>0[/inlmath], ali trebali su u zadatku konkretno da navedu, koliko se trazi resenja, ali dobro

E pa, u tome i jeste štos, da bude što komplikovanije. Ovako te teraju da razmatraš svaki od tih ponuđenih odgovora i proveravaš koji od njih je tačan.

Kontam, ali kako onda ja da dobijem konacno resenje [inlmath]\left[1,\frac{3}{2}\right)[/inlmath], odakle? Ok za [inlmath]\frac{3}{2}[/inlmath], a gde da dobijem jedan, sta trebam da nagadjam iz ponudjenih resenja i da pretpostavim, trebalo bi da dobijem neko koncno resenje, zar ne? Inace taj deo za znak nejednakosti, sto umesto [inlmath]x[/inlmath] ubacim [inlmath]2[/inlmath], to je radila neka profesorka, pa sam nasla taj papir, gde je tako uradjeno (mada mi je bilo sumnjivo jer nije znak jednakosti, vec nejednakosti) ali resenje je tacno sa ta dva, tako uradjena uslova Komplikujeeeeeeem xD

Jeste, donja granica za [inlmath]a[/inlmath] treba da bude [inlmath]1[/inlmath]. Samo, to se ne dobija na onaj način na koji si me pitala, već se posmatra kada dobijena rešenja po [inlmath]x[/inlmath] zadovoljavaju uslove da su manja od [inlmath]2[/inlmath] i da su manja od [inlmath]2a[/inlmath].

Moram da se korigujem – napisao sam da nema potrebe računati ceo izraz za [inlmath]x_{1,2}[/inlmath] i da broj rešenja određujemo samo na osnovu diskriminante. Ne, na osnovu diskriminante određujemo samo gornju granicu parametra [inlmath]a[/inlmath] (a to je [inlmath]a<\frac{3}{2}[/inlmath]), a donju upravo određujemo tako što na rešenja [inlmath]x_{1,2}[/inlmath] primenimo ona dva uslova s početka, [inlmath]x\le 2[/inlmath] i [inlmath]x\le 2a[/inlmath]. Sorry zbog zabune.

Znači, pošto smo dobili rešenja
[dispmath]x_{1,2}=2a-2\pm 2\sqrt{3-2a}[/dispmath]
potrebno je sada da svako od ta dva rešenja bude manje od [inlmath]2[/inlmath] i da bude manje od [inlmath]2a[/inlmath]. To će biti ispunjeno kada veće rešenje (ono s plusem ispred korena) zadovoljava taj uslov, jer tada će i manje rešenje automatski ispunjavati taj uslov. Dakle:
[dispmath]2a-2+2\sqrt{3-2a}\le 2[/dispmath][dispmath]a-1+\sqrt{3-2a}\le 1[/dispmath][dispmath]\sqrt{3-2a}\le 2-a[/dispmath][dispmath]2-a\ge 0\quad\land\quad 3-2a\le\left(2-a\right)^2[/dispmath][dispmath]a\le 2\quad\land\quad 3-2a\le a^2-4a+4[/dispmath][dispmath]a\le 2\quad\land\quad a^2-2a+1\ge 0[/dispmath][dispmath]a\le 2\quad\land\quad\left(a-1\right)^2\ge 0[/dispmath][dispmath]a\le 2\quad\land\quad a\in\mathbb{R}[/dispmath][dispmath]\underline{a\le 2}\quad\left(1\right)[/dispmath]
[dispmath]2a-2+2\sqrt{3-2a}\le 2a[/dispmath][dispmath]-1+\sqrt{3-2a}\le 0[/dispmath][dispmath]\sqrt{3-2a}\le 1[/dispmath][dispmath]3-2a\le 1[/dispmath][dispmath]\underline{a\ge 1}\quad\left(2\right)[/dispmath]
I, kad nađemo presek uslova [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(2\right)[/inlmath], dobijamo:
[dispmath]a\in\left[1,2\right][/dispmath]
što, u preseku s početnim uslovom [inlmath]a<\frac{3}{2}[/inlmath], daje
[dispmath]a\in\left[1,\frac{3}{2}\right)[/dispmath]

Prvo sam sama radila uslove, i ne dobijem kao ti, jer sam za svaku nejednacinu posebno radila uslov [inlmath]3-2a[/inlmath] da je vece ili jednako [inlmath]0[/inlmath], a ne treba jer sam ga uradila kod diskriminante i odredila gornju granicu za [inlmath]a[/inlmath], zar ne? Posle sam radila bez tog uslova, i onda kao dobijem, nesto kao ti. Sve mi se sad pobrkaloooooo :O
Jel bi mogao da mi napises uslove za iracionalne nejednacine, uopsteno mislim, pravila, samo da proverim?

sevdah baby je napisao:Prvo sam sama radila uslove, i ne dobijem kao ti, jer sam za svaku nejednacinu posebno radila uslov [inlmath]3-2a[/inlmath] da je vece ili jednako [inlmath]0[/inlmath], a ne treba jer sam ga uradila kod diskriminante i odredila gornju granicu za [inlmath]a[/inlmath], zar ne?

Upravo tako, gornju granicu za [inlmath]a[/inlmath] odredimo u samom startu, a posle iz uslova koje posebno primenjujemo na svaku od ove četiri nejednačine i traženjem preseka dobijenih rezultata, odredimo i donju granicu za [inlmath]a[/inlmath].

sevdah baby je napisao:Posle sam radila bez tog uslova, i onda kao dobijem, nesto kao ti. Sve mi se sad pobrkaloooooo :O
Jel bi mogao da mi napises uslove za iracionalne nejednacine, uopsteno mislim, pravila, samo da proverim?

Pa sad, ne znam tačno koji su to uopšteni uslovi, al' neki koji se često sreću bi, recimo, bili sledeći:
– potkorena veličina, naravno, mora biti veća iil jednaka od nule, tj. kad imamo [inlmath]\sqrt x[/inlmath], mora biti [inlmath]x\ge 0[/inlmath];
– ako na jednoj strani jednačine imamo kvadratni koren iz nečega, pošto znamo da kvadratni koren može biti ili pozitivan, ili jednak nuli, tada i druga strana jednačine mora biti veća ili jednaka od nule:
[inlmath]\sqrt{\:\cdots\:}=x\quad\Rightarrow\quad x\ge 0[/inlmath];
– ako nejednačina glasi da je [inlmath]x[/inlmath] manje (ili jednako) od kvadratnog korena iz nečega (koji je uvek pozitivan ili nula), tada, pre kvadriranja, moramo komentarisati da [inlmath]x[/inlmath] može biti manje (ili jednako) od nule i, kad posle kvadriranja dobijemo neki skup rešenja za [inlmath]x[/inlmath], kao konačno rešenje ćemo imati uniju tog dobijenog skupa i skupa vrednosti koje su manje (ili jednake) od nule:
[inlmath]x<\sqrt{\:\cdots\:}\quad\Rightarrow\quad x[/inlmath] može biti [inlmath]<0[/inlmath];
[inlmath]x\le\sqrt{\:\cdots\:}\quad\Rightarrow\quad x[/inlmath] može biti [inlmath]\le 0[/inlmath];
– ako nejednačina glasi da je [inlmath]x[/inlmath] veće (ili jednako) od kvadratnog korena iz nečega (koji je uvek pozitivan ili nula), tada, pre kvadriranja, moramo komentarisati da [inlmath]x[/inlmath] mora biti veće (ili jednako) od nule i, kad posle kvadriranja dobijemo neki skup rešenja za [inlmath]x[/inlmath], kao konačno rešenje ćemo imati presek tog dobijenog skupa sa skupom vrednosti koje su veće (ili jednake) od nule:
[inlmath]x>\sqrt{\:\cdots\:}\quad\Rightarrow\quad x[/inlmath] mora biti [inlmath]>0[/inlmath];
[inlmath]x\ge\sqrt{\:\cdots\:}\quad\Rightarrow\quad x[/inlmath] mora biti [inlmath]\ge 0[/inlmath].