MATEMANIJA

Mnogo vam hvala

Evo kako glase zadaci:

1.Rijesiti algebarsku jednacinu:
[dispmath]x^5-x^4-33x^3+81x^2+108x-324=0[/dispmath]
2.Razloziti na parcijalne razlomke sljedece racionalne funkcije:
[dispmath]a)\;F(x)=\frac{2x+1}{(x-1)(x-2)^2}[/dispmath]
[dispmath]b)\;F(x)=\frac{x^6-2x^4}{x^3-2x+1}[/dispmath]
3.Dokazati da postoji polinom [inlmath]P(x)[/inlmath] s cjelobrojnim koeficijentima takav da je [inlmath]P(13)-P(7)[/inlmath] prost broj.

Eto to je sve SRDACNO SE ZAHVALJUJEM!!

Od mene za sada prvi.

1) Rastaviš levu stranu na faktore. Posmatraš je kao polinom, nađeš jedan koren- najbolje [inlmath]3[/inlmath] ([inlmath]P(3)=0[/inlmath]), pa podeliš sve sa [inlmath]x-3[/inlmath]. Ta [inlmath]3[/inlmath] će biti nula i tako dobijenog polinom 4-og stepena, pa opet deliš sa [inlmath]x-3[/inlmath]. Dobijaš polinom trećeg stepena, trojka je opet nula, pa opet deliš sa [inlmath]x-3[/inlmath] i onda dobijaš [inlmath]x^2+8x+12[/inlmath], što rešiš kao kvadratnu i dobiješ još dva rešenja- [inlmath]-2[/inlmath] i [inlmath]-6[/inlmath].
Dakle, rešenja su, [inlmath]-2,-6,3[/inlmath].

Nego, treći nešto ne štima, pošto mi ispada da ta razlika, ne može biti prost broj.
Znači, opšti slučaj [inlmath]P(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_2x^2+a_1x+a_0[/inlmath]
Analogno: [inlmath]P(y)=a_ny^n+a_{n-1}y^{n-1}+\cdots +a_2y^2+a_1y+a_0[/inlmath]

Oduzimanjem:
[dispmath]P(x)-P(y)=a_n\left(x^n-y^n\right)+a_{n-1}\left(x^{n-1}-y^{n-1}\right)+\cdots +a_2\left(x^2-y^2\right)+a_1(x-y)[/dispmath]
Pošto su [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] iste parnosti [inlmath]x^k-y^k[/inlmath] za [inlmath]k=n,n-1,\dots ,2,1[/inlmath] sledi da je razlika ovih polinoma paran broj.
Pošto je [inlmath]2[/inlmath] jedini prost broj, sledi da je ta razlika takva. Ipak, pošto je [inlmath]P(x)-P(y)[/inlmath] sasvim jasno deljivo i sa [inlmath]x-y[/inlmath], odnosno [inlmath]6[/inlmath], sledi da je [inlmath]P(x)-P(y)[/inlmath] deljivo i sa [inlmath]3[/inlmath], a [inlmath]2[/inlmath] to nije. Kontradikcija.

Inace, alma zadatak ide da se treba dokazati da NE postoji polinom [inlmath]P(x)[/inlmath]... imam i ja isti samo su u mene da je [inlmath]P(11)-P(3)[/inlmath]..

Da tako je moja greska hvala intergal ^__^

alma92 je napisao:2.Razloziti na parcijalne razlomke sljedece racionalne funkcije:
[dispmath]a)\;F(x)=\frac{2x+1}{(x-1)(x-2)^2}[/dispmath]

Ranije sam već pisao o tome kako se racionalne funkcije rastavljaju na parcijalne razlomke, pa da se ne bih sad ponavljao, uputstvo koje sam dao nalazi se u ovom postu.

Na primeru ove konkretne funkcije,[dispmath]F\left(x\right)=\frac{2x+1}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)^2}[/dispmath]to bi izgledalo ovako:[dispmath]F\left(x\right)=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{\left(x-2\right)^2}\quad\left(1\right)[/dispmath]pa onda nađemo zbir tih razlomaka, svođenjem na zajednički imenilac:[dispmath]F\left(x\right)=\frac{A\left(x-2\right)^2+B\left(x-1\right)\left(x-2\right)+C\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)^2}[/dispmath]Posle sređivanja brojioca i grupisanja sabiraka istog stepena promenljive [inlmath]x[/inlmath], dobija se[dispmath]F\left(x\right)=\frac{\left(A+B\right)x^2+\left(-4A-3B+C\right)x+\left(4A+2B-C\right)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)^2}[/dispmath]i kad to izjednačimo s početnim oblikom[dispmath]F\left(x\right)=\frac{2x+1}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)^2}[/dispmath]dobijamo sistem od tri jednačine s tri nepoznate[dispmath]A+B=0[/dispmath][dispmath]-4A-3B+C=2[/dispmath][dispmath]4A+2B-C=1[/dispmath]čija su rešenja[dispmath]A=3[/dispmath][dispmath]B=-3[/dispmath][dispmath]C=5[/dispmath]i kad to uvrstimo u [inlmath]\left(1\right)[/inlmath], dobijamo[dispmath]F\left(x\right)=\frac{3}{x-1}-\frac{3}{x-2}+\frac{5}{\left(x-2\right)^2}[/dispmath]

alma92 je napisao:[dispmath]b)\;F(x)=\frac{x^6-2x^4}{x^3-2x+1}[/dispmath]

Pošto ovde u brojiocu imamo polinom većeg stepena od onog u imeniocu, potrebno je prvo izvršiti deljenje tih polinoma. Ovde sam opisao kako se to radi. Dobijemo količnik [inlmath]x^3-1[/inlmath] i ostatak [inlmath]-2x+1[/inlmath], pa zadatu funkciju pišemo na sledeći način:[dispmath]F\left(x\right)=\frac{x^6-2x^4}{x^3-2x+1}=x^3-1+\frac{-2x+1}{x^3-2x+1}[/dispmath]Izraz u imeniocu, [inlmath]x^3-2x+1[/inlmath], razložimo na faktore na sledeći način:[dispmath]x^3-2x+1=x^3-x^2+x^2-x-x+1=x^2\left(x-1\right)+x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)=\left(x-1\right)\left(x^2+x-1\right)[/dispmath]Faktor drugog stepena, [inlmath]\left(x^2+x-1\right)[/inlmath], ne može se razložiti na faktore prvog stepena s realnim koeficijentima, jer mu je diskriminanta manja od nule.[dispmath]F\left(x\right)=x^3-1+\frac{-2x+1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x-1\right)}[/dispmath][dispmath]F\left(x\right)=x^3-1+\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x-1}\quad\left(1\right)[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath]I dalje je princip potpuno isti kao i u prethodnom zadatku.

Na kraju se dobije[dispmath]A=-1[/dispmath][dispmath]B=1[/dispmath][dispmath]C=0[/dispmath]i kad to uvrstimo u [inlmath]\left(1\right)[/inlmath], dobijamo[dispmath]F\left(x\right)=x^3-1-\frac{1}{x-1}+\frac{x}{x^2+x-1}[/dispmath]

[dispmath]F\left(x\right)=x^3-1+\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x-1}\quad\left(1\right)[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath]I dalje je princip potpuno isti kao i u prethodnom zadatku.

Kako ovo dalje uzmem zajednički sadrzilac da je [inlmath](x-1)\left(x^2+x-1\right)[/inlmath] i kad sve izmnozim dobijem ovako:
[inlmath]x^6+x^5-x^4-x^5-x^4+x^3-x^3-x^2+x+x^2+x+1+Ax^2+Ax-A+Bx-B+Cx-C[/inlmath]??

P.S. Ovo mi dodje super vjezba, jer i u mene ima ovaj zadatak samo drugi brojevi, mislim tako nam je svima.. pa taman svoj sam uradila pod a i b..samo ovo sam zapela

indira-aa je napisao:Kako ovo dalje uzmem zajednički sadrzilac da je [inlmath](x-1)\left(x^2+x-1\right)[/inlmath] i kad sve izmnozim dobijem ovako:
[inlmath]x^6+x^5-x^4-x^5-x^4+x^3-x^3-x^2+x+x^2+x+1+Ax^2+Ax-A+Bx-B+Cx-C[/inlmath]??

Ne, onaj levi deo, [inlmath]x^3-1[/inlmath], ne diraš. Njega samo prepisuješ kroz ceo postupak, a postupak primenjuješ samo na ovaj desni deo, [inlmath]\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x-1}[/inlmath]. Znači,[dispmath]F\left(x\right)=x^3-1+\frac{A\left(x^2+x+1\right)+\left(Bx+C\right)\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x-1\right)}[/dispmath]Nastavi dalje...

indira-aa je napisao:P.S. Ovo mi dodje super vjezba, jer i u mene ima ovaj zadatak samo drugi brojevi, mislim tako nam je svima.. pa taman svoj sam uradila pod a i b..samo ovo sam zapela

Da, da, siguran sam da je tako...

Nastavi dalje...

Ja dobijem ovako:
[dispmath]F(x)=x^3-1+\frac{Ax^2+(A+B+C)x-A-B-C}{(x-1)(x^2+x-1)}[/dispmath]
I sad ne znam kako da to izjednacim da dobijem sistem :/

indira-aa je napisao:P.S. Ovo mi dodje super vjezba, jer i u mene ima ovaj zadatak samo drugi brojevi, mislim tako nam je svima.. pa taman svoj sam uradila pod a i b..samo ovo sam zapela

indira-aa je napisao:I sad ne znam kako da to izjednacim da dobijem sistem :/

Da si zaista ranije uradila dva ovakva primera, kao što kažeš da jesi, znala bi i kako da odavde dobiješ sistem.

Ako već na ovom forumu dobijaš pomoć oko raznih zadataka, najmanje što se od tebe očekuje je da ne izmišljaš, da ne praviš klonirane (duplirane) naloge, kao i da čitaš uputstva i primere koje ti dajemo.

Dakle, još jednom, princip dobijanja sistema jednačina, iz mog ranijeg posta u ovoj temi, u kome sam na primeru zadatka pod a) objasnio postupak:

Daniel je napisao:Posle sređivanja brojioca i grupisanja sabiraka istog stepena promenljive [inlmath]x[/inlmath], dobija se[dispmath]F\left(x\right)=\frac{\left(A+B\right)x^2+\left(-4A-3B+C\right)x+\left(4A+2B-C\right)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)^2}[/dispmath]i kad to izjednačimo s početnim oblikom[dispmath]F\left(x\right)=\frac{2x+1}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)^2}[/dispmath]dobijamo sistem od tri jednačine s tri nepoznate[dispmath]A+B=0[/dispmath][dispmath]-4A-3B+C=2[/dispmath][dispmath]4A+2B-C=1[/dispmath]

a ima i još mnogo sličnih primera na temi na koju sam u tom svom postu dao link.

Dakle, rešenja su, [inlmath]-2,-6,3[/inlmath].

Ja dobijem rješenja:
[inlmath]x_1=-2[/inlmath]
[inlmath]x_2=3[/inlmath]
[inlmath]x_3=3[/inlmath]
[inlmath]x_4=3[/inlmath]
[inlmath]x_5=-6[/inlmath]

??

Nastavi dalje...

Ja dobijem ovako:
[dispmath]F(x)=x^3-1+\frac{(A+B)x^2+(A-B+C)x+A-C}{(x-1)(x^2+x-1)}[/dispmath]
I sad ne znam kako da to izjednacim da dobijem sistem :/


I sad napisala sam ovako:
[inlmath]A+B=0[/inlmath]
[inlmath]A-B+C=-2[/inlmath]
[inlmath]A-C=1[/inlmath]
Da li je ispravno?

indira-aa je napisao:Da li je ispravno?

Ne, moja greška, prethodni izraz sam greškom napisao ovako

Daniel je napisao:[dispmath]F\left(x\right)=x^3-1+\frac{A\left(x^2+x+1\right)+\left(Bx+C\right)\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x-1\right)}[/dispmath]

a treba da glasi ovako[dispmath]F\left(x\right)=x^3-1+\frac{A\left(x^2+x-1\right)+\left(Bx+C\right)\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x-1\right)}[/dispmath]Znači, u trinomu umesto onog plusa pre jedinice, treba minus... Izvini zbog zabune.

Nemoj ti previše da se oslanjaš na ovo što ja uradim... Ovo što pišem su ti samo smernice, a zadatak treba da radiš sama. Pa ako nam se rešenja poklope, super, a ako ne, onda znači da je neko pogrešio...

Nemoj ti previše da se oslanjaš na ovo što ja uradim... Ovo što pišem su ti samo smernice, a zadatak treba da radiš sama. Pa ako nam se rešenja poklope, super, a ako ne, onda znači da je neko pogrešio...

Nemoj da se izvinjavas, izvini ti sto sam dosadna.. hvala ti jos jednom, ne znam da li si vidio post prije tog, za jednacinu je vezan, dobijem da je [inlmath]3[/inlmath] dvostruka nula pa odmah vidim i koliko je [inlmath]x_3[/inlmath] i [inlmath]x_4[/inlmath], ne znam da li je to ok?

Da, video sam i post pre tog, ali ne znam da li si ti videla detaljan postupak za taj zadatak, kao i gotova rešenja koja ti je Milovan napisao u ovom postu.

Vidjela sam, vidjela, nego ja sam to isto radila preko Hornera, i napišem prvo djelitelje broja [inlmath]324[/inlmath], a to su [dispmath]1,2,3,4,6,9,12,18,27,36,54,81,108,162,324[/dispmath] (naravno i [inlmath]-1,-2,-3,-4\dots[/inlmath])

I sad, dobijem prvo rješenje da je [dispmath]x_1=-2,[/dispmath] zatim [dispmath]x_2=3[/dispmath]
Sad ispitujem da je [inlmath]3[/inlmath] dvostruko rješenje, dobijem da jeste i sad me zanima da li da ja napisem [dispmath]x_3=3[/dispmath] I [dispmath]x_4=3[/dispmath] ili samo [dispmath]x_3=3[/dispmath] jer mi je posljednje rješenje [dispmath]x=-6.[/dispmath] Ee to ne znam kad sam dobila da jeste dvosruko rješenje, ne znam kako da to napisem, jer na jednom primjeru sto sam ja vjezbala, dobijem isto da jeste i pise se 3 puta, nadam se da me razumijes :/

Ako zadatak glasi „Rešiti algebarsku jednacinu [inlmath]x^5-x^4-33x^3+81x^2+108x-324=0[/inlmath]“, onda je dovoljno navesti rešenja ovako kako je to Milovan učinio.

Ako zadatak glasi „Odrediti nule polinoma [inlmath]x^5-x^4-33x^3+81x^2+108x-324[/inlmath], kao i njihovu višestrukost“, onda je potrebno navesti sve nule ovako kako si ti radila.

Daniel je napisao:Ako zadatak glasi „Rešiti algebarsku jednacinu [inlmath]x^5-x^4-33x^3+81x^2+108x-324=0[/inlmath]“, onda je dovoljno navesti rešenja ovako kako je to Milovan učinio.

Glasi ovako.

Ako zadatak glasi „Odrediti nule polinoma [inlmath]x^5-x^4-33x^3+81x^2+108x-324[/inlmath], kao i njihovu višestrukost“, onda je potrebno navesti sve nule ovako kako si ti radila.

Ali, ona je rekla da uradimo ovako, pa me zanimalo samo da li sam ispravno napisala rješenje, ne razumijem to ako dobijem da jeste dvostruka nula, koliko onda pisem rjesenja jos pored jednog da je [inlmath]x=3[/inlmath], jer negdje pisu jos dva, a negde jos jedan? zato ja u tom zadatku imam 3 puta isto rjesenje tj. [inlmath]3[/inlmath].

indira-aa je napisao:Ali, ona je rekla da uradimo ovako

Onda je definitivno najsigurnije i da nju pitaš kako ona traži da to napišete, da mi sad ovde ne bismo nagađali...

Izraz u imeniocu, [inlmath]x^3-2x+1[/inlmath], razložimo na faktore na sledeći način:[dispmath]x^3-2x+1=x^3-x^2+x^2-x-x+1=x^2\left(x-1\right)+x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)=\left(x-1\right)\left(x^2+x-1\right)[/dispmath]
Eeh ovako: ja imam jedan primjer gdje dobijem da je: [inlmath]x^3-2x+3[/inlmath], i sad to trebam razložiti na faktore(ja sam to po tvom postupku), ovako:[dispmath]x^3-2x+3=x^3-x^2+x^2-x-x+3=x^2\left(x-1\right)+x\left(x-1\right)-\left(x-3\right)=[/dispmath] i ne znam čemu sad kako da to napišem?

Taj polinom [inlmath]3.[/inlmath] stepena nije moguće razložiti na lepe brojeve. Štaviše, on ima samo jednu realnu nulu, koja je daleko od celog broja, a preostale dve nule su konjugovano-kompleksne.

Proveri još jednom postupak, kanda ti se negde potkrala greška čim si došla do takvog „nefaktorizljivog“ polinoma (nemoj upotrebljavati tu reč na faksu, to sam ja sad lupio ).

Evo ovako to je primjer razložiti na parcijalne razlomke (opet isti fazon):
[dispmath]F(x)=\frac{7x^6-2x^4}{x^3-2x+3}[/dispmath]
I sad ja sam njih podjelila kao u onom primjeru što si mi rekao kako ide, i dobila ovo:
količnik:[dispmath]7x^3+12x-21[/dispmath]
ostatak:[dispmath]24x^2-78x+63[/dispmath]
I napisala sam to u onom obliku:
[dispmath]F(x)=7x^3+12x-21+\frac{24x^2-78x+63}{x^3-2x+3}.[/dispmath]
I sad ne znam kud dalje kad trebam rastaviti taj nazivnik

Cao ovaj postupak je OK, ali ja i dalje tvrdim da nema šanse da su vam dali takav razlomak kod koga je u imeniocu [inlmath]x^3-2x+3[/inlmath].
Evo šta mi Derive izbacuje kao tu jednu realnu nulu tog polinoma (Wolframalpha neće čak ni da se bakće s analitičkim izračunavanjem nula, već samo izbaci numeričke vrednosti):[dispmath]x_1=-\frac{\sqrt[3]{324-12\sqrt{633}}+\sqrt[3]{324+12\sqrt{633}}}{6}[/dispmath]Ja se ne bih upuštao u avanturu razlaganja na parcijalne razlomke s ovakvom brojnom vrednošću, a i ne verujem da bi iko.

Nije ovde problem to što imamo samo jednu realnu nulu, jer kad bi ta realna nula bila neki normalan broj, taj polinom bi se dao razložiti na binom i na trinom koji nema realne nule, a imali smo već primere kako se radi u tom slučaju.