MATEMANIJA

Da li je moguće rešiti sledeći sistem jednačina ([inlmath]a,b\in\mathbb{R}[/inlmath]):
[dispmath]x^2-y^2=a\\
xy=b[/dispmath] Inače zadatak je da se dokaže da se ove krive seku pod pravim uglom, pretpostavio sam da prvo treba naći tačku preseka da bismo preko izvoda našli tangente, a zatim i ugao među njima, ali ovaj sistem mi je dosta problematičan. Pokušao sam da izrazim [inlmath]y[/inlmath] iz druge jednačine i ubacim u prvu. Dobije se kvadratna jednačina koja mi takodje deluje nerešivo, pa mislim da možda postoji i neki pametniji način da se ovo reši.
[dispmath]x^2-\frac{b^2}{x^2}=a\\
t=x^2\\
t^2-a^2t-b^2=0\\
t_{1,2}=\frac{a^2\pm\sqrt{a^4+4b^2}}{2}\\
\cdots[/dispmath] Svaka pomoć i ideja je dobrodošla!

Zapravo, ovo nije sistem kvadratnih jednačina kako piše u naslovu, jer ova druga jednačina nije kvadratna. Bolje je reći sistem nelinearnih jednačina.

To je u principu to, nema tu nekog elegantnijeg rešenja kad su u pitanju opšti brojevi [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]. Da umesto njih imaš konkretnije vrednosti, to bi se lepše sredilo i dobio bi i konkretne brojne vrednosti kao rešenje. Imaš samo grešku u sledećem koraku,

ffilipovicc98 je napisao:[dispmath]t^2-a^{\color{red}2}t-b^2=0[/dispmath]

Ne treba ti ovaj kvadrat. Dakle,
[dispmath]t^2-at-b^2=0[/dispmath] I, još par napomena. Kad drugu jednačinu [inlmath]xy=b[/inlmath] zapisuješ u obliku [inlmath]y=\frac{b}{x}[/inlmath] kako bi je uvrstio u prvu jednačinu, to smeš raditi samo za [inlmath]x\ne0[/inlmath], dok slučaj [inlmath]x=0[/inlmath] moraš posebno da razmatraš, uvrštavanjem [inlmath]x=0[/inlmath] u dati sistem.

Druga stvar, prilikom uvođenja smene [inlmath]x^2=t[/inlmath], postavljaš uslov da mora biti [inlmath]t>0[/inlmath] ([inlmath]t[/inlmath] ne sme biti negativno jer predstavlja kvadrat broja [inlmath]x[/inlmath], a ne sme biti ni nula jer smo slučaj [inlmath]x=0[/inlmath] razmatrali posebno).
Dalje je to
[dispmath]t_{1,2}=\frac{a\pm\sqrt{a^2+4b^2}}{2}[/dispmath] Međutim, rešenje s minusom ispred korena bilo bi negativno (ili eventualno nula za [inlmath]a\ge0,\;b=0[/inlmath]), pa ono otpada i ostaje samo
[dispmath]t=\frac{a+\sqrt{a^2+4b^2}}{2}[/dispmath] I na kraju, naravno, vraćanjem smene, [inlmath]x=\pm\sqrt t[/inlmath].

[dispmath]y_1=\pm\sqrt{x^2-a}\\
y'_1=\frac{x}{\pm\sqrt{x^2-a}}\\
y_2=\frac{b}{x}\\
y'_2=-\frac{b}{x^2}\\
y'_1y'_2=-1\\
-\frac{b}{x^2}\frac{x}{\pm\sqrt{x^2-a}}=-1\\
\frac{b}{x}\frac{1}{\pm\sqrt{x^2-a}}=1\\
\frac{b}{x}=\pm\sqrt{x^2-a}\\
y_2=y_1[/dispmath]

Hvala na odgovorima!