MATEMANIJA

Ovde je 5 zadataka, nadam se da nije problem sto sam ih stavila sve odjednom, svakako spadaju pod istu oblast. Ako neko zna, bicu zahvalna
[inlmath]1.\;\;\log_x\left(x^3+1\right)\cdot\log_{x+1}x>2[/inlmath]
[inlmath]2.\;\;\log_4\left(x+12\right)\cdot\log_x 2=1[/inlmath]
[inlmath]3.\;\;x^{3-\log_{10}\frac{x}{3}}=990[/inlmath]
[inlmath]4.\;\;\sqrt{x^{\log\sqrt x}}=10[/inlmath]
[inlmath]5.\;\;2\ln x=\ln\left(x+2\right)[/inlmath]

Evo ti početna uputstva, kako da kreneš:

U [inlmath]1.[/inlmath] zadatku [inlmath]\left(x^3+1\right)[/inlmath] rastavi kao zbir kubova, a [inlmath]\log_{x+1}x[/inlmath] prikaži preko njegove recipročne vrednosti, kako bi logaritme svela na jednake osnove. Rešenje: [inlmath]x>2[/inlmath]

U [inlmath]2.[/inlmath] zadatku logaritam kod koga je u osnovi [inlmath]4[/inlmath] svedi na logaritam kod koga je u osnovi [inlmath]2[/inlmath], a [inlmath]\log_x 2[/inlmath] prikaži preko njegove recipročne vrednosti, kako bi logaritme svela na jednake osnove. Rešenje: [inlmath]x=4[/inlmath]

U [inlmath]3.[/inlmath] zadatku logaritmuj obe strane za osnovu [inlmath]10[/inlmath]. Ovako kako je zadatak postavljen, ne dobiju se nimalo lepi rezultati, nekakvi logaritmi pod korenom, bože sačuvaj...

[inlmath]4.[/inlmath] zadatak je sasvim jednostavan, prvo kvadriraš obe strane, a zatim ih logaritmuješ za osnovu [inlmath]10[/inlmath]. Rešenja: [inlmath]x_1=\frac{1}{100}[/inlmath], [inlmath]x_2=100[/inlmath]

U [inlmath]5.[/inlmath] zadatku i levom i desnom stranom jednačine stepenuješ broj [inlmath]e[/inlmath]. Dobićeš kvadratnu jednačinu, čije negativno rešenje odbacuješ. Rešenje: [inlmath]x=2[/inlmath]

1. i 2. zadatak sam tako i radila, tj pocela, pre nego sto sam ih postavila na forum, ali opet nmg da dobijem :O
3. sam isto pokusavala, samo sto je na kraju [inlmath]900[/inlmath], a ne [inlmath]990[/inlmath], ali i dalje nmg da dobijem, a rezultat bi trebao da bude [inlmath]130[/inlmath].
4. i 5. sam uradila

sevdah baby je napisao:1. i 2. zadatak sam tako i radila, tj pocela, pre nego sto sam ih postavila na forum, ali opet nmg da dobijem :O

Možeš li napisati izraze do kojih si stigla, pa ćemo ti reći kako dalje?

sevdah baby je napisao:3. sam isto pokusavala, samo sto je na kraju [inlmath]900[/inlmath], a ne [inlmath]990[/inlmath], ali i dalje nmg da dobijem, a rezultat bi trebao da bude [inlmath]130[/inlmath].

Hm, nekoliko puta sam baš proverio jesam li pri prekucavanju slike u Latex dobro prepisao svaku cifru i bio sam ubeđen da stoji [inlmath]990[/inlmath]. OK, kako god. Pošto će ti se pojaviti [inlmath]\log 900[/inlmath], ovo [inlmath]900[/inlmath] rastavi kao [inlmath]9\cdot 100[/inlmath], logaritam proizvoda napiši kao zbir logaritama, zatim [inlmath]9[/inlmath] napiši kao [inlmath]3^2[/inlmath]... Dobićeš kvadratnu jednačinu po [inlmath]\log_{10}x[/inlmath], pa će biti najzgodnije da uvedeš smenu [inlmath]t=\log_{10}x[/inlmath] kako bi rešila tu kvadratnu jednačinu... Dobijaju se rešenja [inlmath]x_1=100[/inlmath] i [inlmath]x_2=30[/inlmath], a ovo što si napisala [inlmath]130[/inlmath], verovatno si pod time mislila na zbir rešenja?

O boze me sacuvaj i dalje nmg da dobijem taj treci, isto tako sam ga rastavljala kad sam radila :O sta mi je!
1. Ovo znam da je sigurno tacno
[dispmath]\left(\log_x\left(x+1\right)+\log_x\left(x^2-x+1\right)\right)\cdot\frac{1}{\log_x\left(x+1\right)}>2[/dispmath]
i onda nzm sta da radim sa ovim drugim log u zagradi, tj ako izmnozim sve lepo dobicu
[dispmath]1+\frac{\log_x\left(x^2-x+1\right)}{\log_x\left(x+1\right)}>2[/dispmath]
i onda

i onda radim dva slucaja za [inlmath]x\in (0,1)[/inlmath] i za [inlmath]x>1[/inlmath] itk e sad da li uopste treba tako da radim ili na neku drugu foru?
2. sam upravo uradila
3. nmg da dobijem i da zbir resenja se trazi

U prvom si sve odradila kako treba, samo, nema potrebe za dva odvojena slučaja, jer je osnova logaritma, [inlmath]x+1[/inlmath], uvek veća od jedinice, budući da, prema početnim uslovima zadatka (argument i osnova logaritma moraju biti veći od nule), mora biti [inlmath]x>0[/inlmath].

Znači, samo[dispmath]\frac{x^2-x+1}{x+1}>1[/dispmath]
Za [inlmath]3.[/inlmath] bi ovako izgledao postupak:[dispmath]x^{3-\log_{10}\frac{x}{3}}=900\quad /\:\log_{10}[/dispmath][dispmath]\log_{10}x^{3-\log_{10}\frac{x}{3}}=\log_{10}900[/dispmath][dispmath]\left(3-\log_{10}\frac{x}{3}\right)\log_{10}x=\log_{10}\left(9\cdot 100\right)[/dispmath][dispmath]\left(3-\log_{10}x+\log_{10}3\right)\log_{10}x=\log_{10}9+\log_{10}100[/dispmath][dispmath]-\log_{10}^2x+\left(3+\log_{10}3\right)\log_{10}x=\log_{10}3^2+2[/dispmath][dispmath]-\log_{10}^2x+\left(3+\log_{10}3\right)\log_{10}x-\left(2\log_{10}3+2\right)=0[/dispmath]Smena
[inlmath]\log_{10}x=t[/inlmath]
[inlmath]x=10^t[/inlmath][dispmath]-t^2+\left(3+\log_{10}3\right)t-\left(2\log_{10}3+2\right)=0[/dispmath][dispmath]t_{1,2}=\frac{-3-\log_{10}3\pm\sqrt{\left(3+\log_{10}3\right)^2-4\left(2\log_{10}3+2\right)}}{-2}[/dispmath][dispmath]t_{1,2}=\frac{-3-\log_{10}3\pm\sqrt{9+6\log_{10}3+\log_{10}^2 3-8\log_{10}3-8}}{-2}[/dispmath][dispmath]t_{1,2}=\frac{-3-\log_{10}3\pm\sqrt{\log_{10}^2 3-2\log_{10}3+1}}{-2}[/dispmath][dispmath]t_{1,2}=\frac{-3-\log_{10}3\pm\sqrt{\left(\log_{10}3-1\right)^2}}{-2}[/dispmath][dispmath]t_{1,2}=\frac{-3-\log_{10}3\pm\left(\log_{10}3-1\right)}{-2}[/dispmath][dispmath]t_1=\frac{-3-\log_{10}3-\log_{10}3+1}{-2}[/dispmath][dispmath]t_1=1+\log_{10}3[/dispmath][dispmath]x_1=10^{\left(1+\log_{10}3\right)}[/dispmath][dispmath]x_1=10\cdot 10^{\log_{10}3}[/dispmath][dispmath]x_1=10\cdot 3[/dispmath][dispmath]\underline{x_1=30}[/dispmath][dispmath]t_2=\frac{-3-\log_{10}3+\log_{10}3-1}{-2}[/dispmath][dispmath]t_2=2[/dispmath][dispmath]x_2=10^2[/dispmath][dispmath]\underline{x_2=100}[/dispmath]

3. sam tako i radila do smeneeee te, bunilo me je, sto kad uvedem smenu i dalje imam logaritme u izrazu, pa sam mislila da gresim, skontala sam, hvala ti punoooooooooooooooooooo

[dispmath]\sqrt{\log_2x}-\log_2(8x)+5=0[/dispmath]

Odmah, na početku, napiši uslov da je potkorena veličina veća ili jednaka od nule, kao i da su argumenti logaritama veći od nule.
[inlmath]\log_2\left(8x\right)[/inlmath], kao logaritam proizvoda, rastavi na zbir logaritama.
[inlmath]\log_2 8[/inlmath] znaš koliko je.
Uvedi smenu [inlmath]\sqrt{\log_2 x}=t[/inlmath].
Reši kvadratnu jednačinu po [inlmath]t[/inlmath].
Negativno rešenje odbaci, budući da kvadratni koren mora biti nenegativan.
Dobije se [inlmath]x=16[/inlmath].

1. [inlmath]2\log_x 4+2\log_{4x}4+2\log_{16x}4=0[/inlmath]
2. [inlmath]\frac{1}{\log_ax}>1[/inlmath] . Neka je [inlmath]0<a<1[/inlmath] . Skup realinih vrednosti [inlmath]x[/inlmath] za koje je tacna nejednakost je