MATEMANIJA

Ovde je 5 zadataka, nadam se da nije problem sto sam ih stavila sve odjednom, svakako spadaju pod istu oblast. Ako neko zna, bicu zahvalna
[inlmath]1.\;\;\log_x\left(x^3+1\right)\cdot\log_{x+1}x>2[/inlmath]
[inlmath]2.\;\;\log_4\left(x+12\right)\cdot\log_x 2=1[/inlmath]
[inlmath]3.\;\;x^{3-\log_{10}\frac{x}{3}}=990[/inlmath]
[inlmath]4.\;\;\sqrt{x^{\log\sqrt x}}=10[/inlmath]
[inlmath]5.\;\;2\ln x=\ln\left(x+2\right)[/inlmath]

Evo ti početna uputstva, kako da kreneš:

U [inlmath]1.[/inlmath] zadatku [inlmath]\left(x^3+1\right)[/inlmath] rastavi kao zbir kubova, a [inlmath]\log_{x+1}x[/inlmath] prikaži preko njegove recipročne vrednosti, kako bi logaritme svela na jednake osnove. Rešenje: [inlmath]x>2[/inlmath]

U [inlmath]2.[/inlmath] zadatku logaritam kod koga je u osnovi [inlmath]4[/inlmath] svedi na logaritam kod koga je u osnovi [inlmath]2[/inlmath], a [inlmath]\log_x 2[/inlmath] prikaži preko njegove recipročne vrednosti, kako bi logaritme svela na jednake osnove. Rešenje: [inlmath]x=4[/inlmath]

U [inlmath]3.[/inlmath] zadatku logaritmuj obe strane za osnovu [inlmath]10[/inlmath]. Ovako kako je zadatak postavljen, ne dobiju se nimalo lepi rezultati, nekakvi logaritmi pod korenom, bože sačuvaj...

[inlmath]4.[/inlmath] zadatak je sasvim jednostavan, prvo kvadriraš obe strane, a zatim ih logaritmuješ za osnovu [inlmath]10[/inlmath]. Rešenja: [inlmath]x_1=\frac{1}{100}[/inlmath], [inlmath]x_2=100[/inlmath]

U [inlmath]5.[/inlmath] zadatku i levom i desnom stranom jednačine stepenuješ broj [inlmath]e[/inlmath]. Dobićeš kvadratnu jednačinu, čije negativno rešenje odbacuješ. Rešenje: [inlmath]x=2[/inlmath]

1. i 2. zadatak sam tako i radila, tj pocela, pre nego sto sam ih postavila na forum, ali opet nmg da dobijem :O
3. sam isto pokusavala, samo sto je na kraju [inlmath]900[/inlmath], a ne [inlmath]990[/inlmath], ali i dalje nmg da dobijem, a rezultat bi trebao da bude [inlmath]130[/inlmath].
4. i 5. sam uradila

sevdah baby je napisao:1. i 2. zadatak sam tako i radila, tj pocela, pre nego sto sam ih postavila na forum, ali opet nmg da dobijem :O

Možeš li napisati izraze do kojih si stigla, pa ćemo ti reći kako dalje?

sevdah baby je napisao:3. sam isto pokusavala, samo sto je na kraju [inlmath]900[/inlmath], a ne [inlmath]990[/inlmath], ali i dalje nmg da dobijem, a rezultat bi trebao da bude [inlmath]130[/inlmath].

Hm, nekoliko puta sam baš proverio jesam li pri prekucavanju slike u Latex dobro prepisao svaku cifru i bio sam ubeđen da stoji [inlmath]990[/inlmath]. OK, kako god. Pošto će ti se pojaviti [inlmath]\log 900[/inlmath], ovo [inlmath]900[/inlmath] rastavi kao [inlmath]9\cdot 100[/inlmath], logaritam proizvoda napiši kao zbir logaritama, zatim [inlmath]9[/inlmath] napiši kao [inlmath]3^2[/inlmath]... Dobićeš kvadratnu jednačinu po [inlmath]\log_{10}x[/inlmath], pa će biti najzgodnije da uvedeš smenu [inlmath]t=\log_{10}x[/inlmath] kako bi rešila tu kvadratnu jednačinu... Dobijaju se rešenja [inlmath]x_1=100[/inlmath] i [inlmath]x_2=30[/inlmath], a ovo što si napisala [inlmath]130[/inlmath], verovatno si pod time mislila na zbir rešenja?

O boze me sacuvaj i dalje nmg da dobijem taj treci, isto tako sam ga rastavljala kad sam radila :O sta mi je!
1. Ovo znam da je sigurno tacno
[dispmath]\left(\log_x\left(x+1\right)+\log_x\left(x^2-x+1\right)\right)\cdot\frac{1}{\log_x\left(x+1\right)}>2[/dispmath]
i onda nzm sta da radim sa ovim drugim log u zagradi, tj ako izmnozim sve lepo dobicu
[dispmath]1+\frac{\log_x\left(x^2-x+1\right)}{\log_x\left(x+1\right)}>2[/dispmath]
i onda

i onda radim dva slucaja za [inlmath]x\in (0,1)[/inlmath] i za [inlmath]x>1[/inlmath] itk e sad da li uopste treba tako da radim ili na neku drugu foru?
2. sam upravo uradila
3. nmg da dobijem i da zbir resenja se trazi

U prvom si sve odradila kako treba, samo, nema potrebe za dva odvojena slučaja, jer je osnova logaritma, [inlmath]x+1[/inlmath], uvek veća od jedinice, budući da, prema početnim uslovima zadatka (argument i osnova logaritma moraju biti veći od nule), mora biti [inlmath]x>0[/inlmath].

Znači, samo[dispmath]\frac{x^2-x+1}{x+1}>1[/dispmath]
Za [inlmath]3.[/inlmath] bi ovako izgledao postupak:[dispmath]x^{3-\log_{10}\frac{x}{3}}=900\quad /\:\log_{10}[/dispmath][dispmath]\log_{10}x^{3-\log_{10}\frac{x}{3}}=\log_{10}900[/dispmath][dispmath]\left(3-\log_{10}\frac{x}{3}\right)\log_{10}x=\log_{10}\left(9\cdot 100\right)[/dispmath][dispmath]\left(3-\log_{10}x+\log_{10}3\right)\log_{10}x=\log_{10}9+\log_{10}100[/dispmath][dispmath]-\log_{10}^2x+\left(3+\log_{10}3\right)\log_{10}x=\log_{10}3^2+2[/dispmath][dispmath]-\log_{10}^2x+\left(3+\log_{10}3\right)\log_{10}x-\left(2\log_{10}3+2\right)=0[/dispmath]Smena
[inlmath]\log_{10}x=t[/inlmath]
[inlmath]x=10^t[/inlmath][dispmath]-t^2+\left(3+\log_{10}3\right)t-\left(2\log_{10}3+2\right)=0[/dispmath][dispmath]t_{1,2}=\frac{-3-\log_{10}3\pm\sqrt{\left(3+\log_{10}3\right)^2-4\left(2\log_{10}3+2\right)}}{-2}[/dispmath][dispmath]t_{1,2}=\frac{-3-\log_{10}3\pm\sqrt{9+6\log_{10}3+\log_{10}^2 3-8\log_{10}3-8}}{-2}[/dispmath][dispmath]t_{1,2}=\frac{-3-\log_{10}3\pm\sqrt{\log_{10}^2 3-2\log_{10}3+1}}{-2}[/dispmath][dispmath]t_{1,2}=\frac{-3-\log_{10}3\pm\sqrt{\left(\log_{10}3-1\right)^2}}{-2}[/dispmath][dispmath]t_{1,2}=\frac{-3-\log_{10}3\pm\left(\log_{10}3-1\right)}{-2}[/dispmath][dispmath]t_1=\frac{-3-\log_{10}3-\log_{10}3+1}{-2}[/dispmath][dispmath]t_1=1+\log_{10}3[/dispmath][dispmath]x_1=10^{\left(1+\log_{10}3\right)}[/dispmath][dispmath]x_1=10\cdot 10^{\log_{10}3}[/dispmath][dispmath]x_1=10\cdot 3[/dispmath][dispmath]\underline{x_1=30}[/dispmath][dispmath]t_2=\frac{-3-\log_{10}3+\log_{10}3-1}{-2}[/dispmath][dispmath]t_2=2[/dispmath][dispmath]x_2=10^2[/dispmath][dispmath]\underline{x_2=100}[/dispmath]

3. sam tako i radila do smeneeee te, bunilo me je, sto kad uvedem smenu i dalje imam logaritme u izrazu, pa sam mislila da gresim, skontala sam, hvala ti punoooooooooooooooooooo

[dispmath]\sqrt{\log_2x}-\log_2(8x)+5=0[/dispmath]

Odmah, na početku, napiši uslov da je potkorena veličina veća ili jednaka od nule, kao i da su argumenti logaritama veći od nule.
[inlmath]\log_2\left(8x\right)[/inlmath], kao logaritam proizvoda, rastavi na zbir logaritama.
[inlmath]\log_2 8[/inlmath] znaš koliko je.
Uvedi smenu [inlmath]\sqrt{\log_2 x}=t[/inlmath].
Reši kvadratnu jednačinu po [inlmath]t[/inlmath].
Negativno rešenje odbaci, budući da kvadratni koren mora biti nenegativan.
Dobije se [inlmath]x=16[/inlmath].

1. [inlmath]2\log_x 4+2\log_{4x}4+2\log_{16x}4=0[/inlmath]
2. [inlmath]\frac{1}{\log_ax}>1[/inlmath] . Neka je [inlmath]0<a<1[/inlmath] . Skup realinih vrednosti [inlmath]x[/inlmath] za koje je tacna nejednakost je

smAshh je napisao:1. [inlmath]2\log_x 4+2\log_{4x}4+2\log_{16x}4=0[/inlmath]
2. [inlmath]\frac{1}{\log_ax}>1[/inlmath] . Neka je [inlmath]0<a<1[/inlmath] . Skup realinih vrednosti [inlmath]x[/inlmath] za koje je tacna nejednakost je

Da li može neki propratni komentar uz ove zadatke – na koji način si ih rešavao, do kog koraka u rešavanju si stigao, u čemu je nastao problem itd...?

Ne znam odakle da pocnem.

smAshh je napisao:1. [inlmath]2\log_x 4+2\log_{4x}4+2\log_{16x}4=0[/inlmath]

Prvo treba da ih svedeš na jednake osnove. Možeš primetiti da su im, u ovako napisanom obliku, jednaki argumenti (svi su četvorke). Ako ih predstaviš preko njihovih recipročnih vrednosti, imaćeš logaritme s jednakim osnovama. Tamo gde je potrebno, logaritam proizvoda prikaži kao zbir logaritama. Zatim uvedi smenu [inlmath]\log_4 x=t[/inlmath]...
Treba da se dobiju rešenja [inlmath]x_{1,2}=4^{-1\pm\frac{\sqrt 3}{3}}[/inlmath]

Daniel je napisao:2. [inlmath]\frac{1}{\log_ax}>1[/inlmath] . Neka je [inlmath]0<a<1[/inlmath] . Skup realinih vrednosti [inlmath]x[/inlmath] za koje je tacna nejednakost je

Radi svođenja na logaritme s jednakim osnovama, jedinicu s desne strane nejednačine napiši kao [inlmath]\frac{1}{\log_a a}[/inlmath].
Treba da vodiš računa da, kada je osnova logaritma između [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath] (kao u ovom slučaju), tada je logaritam opadajuća funkcija (pogledaj animaciju logaritamske funkcije), o čemu treba voditi računa prilikom rešavanja nejednačine.
Takođe, treba voditi računa da, zbog nejednakosti koja je zadata, [inlmath]\log_a x[/inlmath] mora dati strogo pozitivne vrednosti...
Rešenje: [inlmath]a<x<1[/inlmath]

1. Broj realnih resenja jednacine [inlmath]\log_{10-x}\left(\sqrt{x+3}-1\right)=\frac{1}{2}[/inlmath] je:
Ja sam dobila resenje [inlmath]x=6[/inlmath] i [inlmath]x=1[/inlmath].
Da li je to dobro?

[inlmath]\sqrt{x+3}-1=\sqrt{10-x}[/inlmath]

posle kvadriranja dobijem
[inlmath]x^2-7x+6=0[/inlmath]

Definisano za:
[inlmath]x>-2[/inlmath] i [inlmath]x\geq -3[/inlmath] i [inlmath]x\ne 9[/inlmath]

2. Koliko ima resenja jednacina u skupu realnih brojeva?

[inlmath]\log_\sqrt 5\left(4^x-6\right)-\log_\sqrt 5\left(2^x-2\right)=2[/inlmath]

Ja sam dobila [inlmath]x_1=2[/inlmath] i [inlmath]x_2=0[/inlmath]

[inlmath]4^x-6=5\cdot 2^x-10[/inlmath]

[inlmath]2^x=t[/inlmath]

[inlmath]t^2-5t+4=0[/inlmath]

[inlmath]t_1=4,\;t_2=1[/inlmath]

Da li je dobro resenje?

U [inlmath]1.[/inlmath] zadatku treba da se dobije samo rešenje [inlmath]x=6[/inlmath], dok rešenje [inlmath]x=1[/inlmath] otpada jer ne zadovoljava neke uslove koji se pojave u toku rešavanja zadatka.
Evo kompletnog postupka s komentarisanjem svih uslova:[dispmath]\log_{10-x}\left(\sqrt{x+3}-1\right)=\frac{1}{2}[/dispmath]Baza logaritma: [inlmath]10-x>0,\;10-x\ne 1\quad\Rightarrow\quad\underline{x<10,\;x\ne 9}[/inlmath]
Potkorena veličina: [inlmath]x+3\ge 0\quad\Rightarrow\quad\underline{x\ge -3}[/inlmath][dispmath]\log_{10-x}\left(\sqrt{x+3}-1\right)=\frac{1}{2}\log_{10-x}\left(10-x\right)[/dispmath][dispmath]\log_{10-x}\left(\sqrt{x+3}-1\right)=\log_{10-x}\left(10-x\right)^\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]\sqrt{x+3}-1=\sqrt{10-x}[/dispmath]E sad, naravno, ovo treba kvadrirati; međutim, pošto se kvadriranjem gubi informacija o predznaku leve i desne strane, pre kvadriranja obavezno moramo komentarisati i postaviti uslove, pa kažemo:
Desna strana jednačine je uvek veća ili jednaka od nule (zbog definicije kvadratnog korena), pa samim tim, mora biti veća ili jednaka od nule i leva strana:
[inlmath]\sqrt{x+3}-1\ge 0[/inlmath]
[inlmath]\sqrt{x+3}\ge 1[/inlmath]
E sad pri kvadriranju ne moramo ništa komentarisati, jer odmah vidimo da ni leva ni desna strana nikad nisu negativne.
[inlmath]x+3\ge 1[/inlmath]
[inlmath]\underline{x\ge -2}[/inlmath]
I, uz taj uslov, možemo kvadrirati levu i desnu stranu gornje jednačine:[dispmath]x+3-2\sqrt{x+3}+1=10-x[/dispmath][dispmath]2x-6=2\sqrt{x+3}[/dispmath][dispmath]x-3=\sqrt{x+3}[/dispmath]Sada, pre kvadriranja, opet ovo moramo komentarisati: desna strana jednačine je uvek veća ili jednaka od nule, pa, samim tim, mora biti i leva:
[inlmath]x-3\ge 0[/inlmath]
[inlmath]\underline{x\ge 3}[/inlmath][dispmath]x^2-6x+9=x+3[/dispmath][dispmath]x^2-7x+6=0[/dispmath][dispmath]x_1=1\quad x_2=6[/dispmath]Svi uslovi koje smo dosad imali su:
[inlmath]x<10,\;x\ne 9,\;x\ge -3,\;x\ge -2,\;x\ge 3[/inlmath]
pa je njihov presek
[inlmath]3\le x<10,\;x\ne 9[/inlmath]
Rešenje [inlmath]x_2=6[/inlmath] zadovoljava taj presek uslova, dok rešenje [inlmath]x_1=1[/inlmath] taj presek uslova ne zadovoljava. Prema tome, konačno rešenje je [inlmath]\underline{x=6}[/inlmath].

Inače, ispravnost rešenja jednačine uvek možeš i sama proveriti uvrštavanjem svakog od tih rešenja umesto nepoznate u polaznu jednačinu. Može se videti da će uvrštavanjem [inlmath]x=6[/inlmath] u polaznu jednačinu ista biti zadovoljena, dok uvrštavanjem rešenja [inlmath]x=1[/inlmath] neće biti zadovoljena.


U [inlmath]2.[/inlmath] zadatku sve OK. I sad samo vratiš smenu [inlmath]t=2^x[/inlmath] i dobiješ rešenja [inlmath]x_1=2[/inlmath] i [inlmath]x_2=0[/inlmath].

Hvala puno na detaljnim objasnjenjima !!!

U 1. zadatku sam videla da sam pogresila u definisanosti, ali me muci ovaj 2. zadatak.

U resenjima stoji da ima samo jedno resenje u skupu realnih brojeva.

Da li mozda treba da se uradi [inlmath]\left(4^x-6\right)>0[/inlmath] i [inlmath]\left(2^x-2\right)>0[/inlmath]?

Ovo [inlmath]\left(2^x-2\right)>0[/inlmath] znam, [inlmath]2^x>2^1[/inlmath], sledi [inlmath]x>1[/inlmath]
A kako da uradim [inlmath]\left(4^x-6\right)>0[/inlmath], ako to treba tako?

Vid' mene... Prvo ti u jednom zadatku napišem sve moguće uslove, a onda u sledećem previdim nešto ovako banalno...
Da, obavezno treba da se postave ti uslovi da su argumenti logaritma veći od nule.
Za ovaj prvi uslov si dobro uradila, a za drugi jedino možeš ovako:[dispmath]4^x>6[/dispmath][dispmath]2^{2x}>2\cdot 3[/dispmath][dispmath]2^{2x-1}>3[/dispmath]Pa svodimo na jednake osnove:[dispmath]2^{2x-1}>2^{\log_2 3}[/dispmath][dispmath]2x-1>\log_2 3[/dispmath][dispmath]x>\frac{1+\log_2 3}{2}[/dispmath]

Ja sam malo dosadna, ali ponovo se vracam na 1. zadatak,
zbog cega se ne radi definisanost odmah na pocetku zadatka za

[inlmath]\left(\sqrt{x+3}-1\right)>0[/inlmath]
pa da se dobije [inlmath]x>-2[/inlmath]

nego se radi posle kao
[inlmath]\left(\sqrt{x+3}-1\right)\geq 0[/inlmath]
pa se dobije [inlmath]x\geq -2[/inlmath]

I da li treba oba puta da se radi?

ivzo je napisao:Ja sam malo dosadna, ali ponovo se vracam na 1. zadatak,
zbog cega se ne radi definisanost odmah na pocetku zadatka za

[inlmath]\left(\sqrt{x+3}-1\right)>0[/inlmath]
pa da se dobije [inlmath]x>-2[/inlmath]

Neverovatno... Nemam objašnjenje kako mi je i to promaklo... Razumem ja da je bilo 1 iza ponoći, al' ipak... Dobro je da si primetila. Sad ću ja ceo taj zadatak još jednom da pregledam...
Da, treba odmah na samom startu da se, znači, napišu uslovi za argument logaritma, za bazu logaritma, kao i za potkorenu veličinu.

ivzo je napisao:I da li treba oba puta da se radi?

Drugi put nema potrebe, samo treba naglasiti da je već postavljen uslov da je taj izraz veći od nule, tako da se kvadriranjem ne narušava nejednakost.

Ako moze pomoc oko 4. zadatka. Kvadrirala sam izgubila koren zatim logaritmovala za osnovu [inlmath]10[/inlmath] i onda kako dalje?

Misliš na ovaj zadatak?

sevdah baby je napisao:[inlmath]4.\;\;\sqrt{x^{\log\sqrt x}}=10[/inlmath]

Nakon kvadriranja i logaritmovanja za osnovu [inlmath]10[/inlmath], logaritam [inlmath]\log\sqrt x[/inlmath] napiši kao [inlmath]\frac{1}{2}\log x[/inlmath], a zatim uvedi smenu [inlmath]\log x=t[/inlmath]...

Naravno, vodi računa o oblastima definisanosti (potkorene veličine u polaznoj jednačini moraju biti [inlmath]\ge0[/inlmath], a argumenti logaritama moraju biti [inlmath]>0[/inlmath]...)