MATEMANIJA

Pozdrav! Problem je u ovom zadatku: Odrediti skup rešenja sistema:
[dispmath]x^2+3\cdot x\cdot y-8\cdot y^2=20[/dispmath] i
[dispmath]x^2-y^2=15[/dispmath] Rešenja su [inlmath](4,1),\;(-4,-1),\;\left(\frac{5}{4}\cdot\sqrt{10},\,\frac{1}{4}\cdot\sqrt{10}\right),\left(-\frac{5}{4}\cdot\sqrt{10},\,-\frac{1}{4}\cdot\sqrt{10}\right)[/inlmath]

Pokušao sam da iz prve jednačine izvučem [inlmath]y^2[/inlmath] ispred zagrade i tada dobijam
[dispmath]y^2\cdot\left(\frac{x^2}{y^2}+3\cdot\frac{x}{y}-8\right)=20[/dispmath] Onda ide smena [inlmath]\frac{x}{y}=t[/inlmath] i onda jednačina dobija oblik
[dispmath]y^2\cdot\left(t^2+3\cdot t-8\right)=20[/dispmath] Zatim radim kvadratnu jednačinu po [inlmath]t[/inlmath], ali za vredonst [inlmath]y[/inlmath] ne dobijam vrednosti kao u rešenju.

Dobra ti je ideja za smenu i dobro si krenuo da radiš. Treba samo smenu da ubaciš i u drugu jednačinu i onda iz obe jednačine izraziš [inlmath]y^2[/inlmath]. Dobiješ
[dispmath]y^2=\frac{20}{t^2+3t-8}[/dispmath][dispmath]y^2=\frac{15}{t^2-1}[/dispmath] Sada izjednačiš desne strane ovih jednačina i rešavaš po [inlmath]t[/inlmath]. Možeš da podeliš tu novu jednačinu sa [inlmath]5[/inlmath] da ti bude lakše. Jednačina koju dobiješ po [inlmath]t[/inlmath] treba da glasi
[dispmath]t^2-9t+20=0[/dispmath] a rešenja su [inlmath]t_1=4[/inlmath] i [inlmath]t_2=5[/inlmath]. Dalje ne bi trebalo da bude problema, a ako ima, samo reci, rešićemo.

Po meni, za nijansu jednostavnije (bez smene):
Od druge jednačine oduzmemo prvu, dobijemo [inlmath]7y^2-3xy=-5[/inlmath].
Izrazimo [inlmath]x[/inlmath] preko [inlmath]y[/inlmath], dobijemo [inlmath]\displaystyle x=\frac{7y^2+5}{3y}[/inlmath].
Uvrstimo u drugu jednačinu, dobijemo [inlmath]8y^4-13y^2+5=0[/inlmath], što kao rešenja daje [inlmath]y^2=1[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle y^2=\frac{5}{8}[/inlmath].
Itd...