MATEMANIJA

Zdravo svima! Zadatak glasi ovako:
[dispmath]\left(7+\sqrt{48}\right)^{x^2-2x+1}+\left(7-\sqrt{48}\right)^{x^2-2x-1}=14\left(7-\sqrt{48}\right)^{-1}[/dispmath] Kako sam počeo...
[dispmath]\left(7-\sqrt{48}\right)\left(7+\sqrt{48}\right)^{x^2-2x+1}+\left(7-\sqrt{48}\right)^{x^2-2x-1+1}=14[/dispmath][dispmath]\left(7-\sqrt{48}\right)\left(7+\sqrt{48}\right)\left(7+\sqrt{48}\right)^{x^2-2x}+\left(7-\sqrt{48}\right)^{x^2-2x}=14[/dispmath][dispmath]\left(7+\sqrt{48}\right)^{x^2-2x}+\left(7-\sqrt{48}\right)^{x^2-2x}=14[/dispmath] Sada bi, prema rešenju iz zbirke, trebalo uvesti smenu [inlmath]t=\left(7+\sqrt{28}\right)^{x^2-2x}[/inlmath], pa iz toga sledi jednačina [inlmath]t+\frac{1}{t}-14=0[/inlmath]

Kako to da [inlmath]t^{-1}=\left(7+\sqrt{28}\right)^{-x^2+2x}[/inlmath] može biti isto što i [inlmath]\left(7-\sqrt{28}\right)^{x^2-2x}[/inlmath]?

Dobro došao na Forum.

Pavle je napisao:Kako to da [inlmath]t^{-1}=\left(7+{\color{red}\sqrt{28}}\right)^{-x^2+2x}[/inlmath] može biti isto što i [inlmath]\left(7-{\color{red}\sqrt{28}}\right)^{x^2-2x}[/inlmath]?

Pretpostavljam da si greškom napisao [inlmath]\sqrt{28}[/inlmath] umesto [inlmath]\sqrt{48}[/inlmath] (ovo crveno). Kada se uvede smena [inlmath]t=\left(7+\sqrt{48}\right)^{x^2-2x}[/inlmath] zaista se dobije pomenuta jednačina jer je [inlmath]\frac{1}{t}[/inlmath] u stvari, kada se racionališe:
[dispmath]\frac{1}{\left(7+\sqrt{48}\right)^{x^2-2x}}\cdot\frac{\left(7-\sqrt{48}\right)^{x^2-2x}}{\left(7-\sqrt{48}\right)^{x^2-2x}}=\left(7-\sqrt{48}\right)^{x^2-2x}[/dispmath] Imenilac će biti razlika kvadrata [inlmath]49-48=1[/inlmath].
Koliko sam shvatio samo te je ovo oko smene bunilo, ako je još nešto nejasno - pitaj.

Hvala na dobrodošlici, pre svega

Corba248 je napisao:Pretpostavljam da si greškom napisao [inlmath]\sqrt{28}[/inlmath] umesto [inlmath]\sqrt{48}[/inlmath] (ovo crveno).

Jesam, Maple mi generiše LaTex, ali iz nekog razloga loše ispiše vrednost pod korenom.

Corba248 je napisao:Kada se uvede smena [inlmath]t=\left(7+\sqrt{48}\right)^{x^2-2x}[/inlmath] zaista se dobije pomenuta jednačina jer je [inlmath]\frac{1}{t}[/inlmath] u stvari, kada se racionališe:
[dispmath]\frac{1}{\left(7+\sqrt{48}\right)^{x^2-2x}}\cdot\frac{\left(7-\sqrt{48}\right)^{x^2-2x}}{\left(7-\sqrt{48}\right)^{x^2-2x}}=\left(7-\sqrt{48}\right)^{x^2-2x}[/dispmath] Imenilac će biti razlika kvadrata [inlmath]49-48=1[/inlmath].

Mislim da bih lomio glavu narednih sat vremena oko ovoga, iako mi je rešenje bilo ispred nosa.

Corba248 je napisao:Koliko sam shvatio samo te je ovo oko smene bunilo, ako je još nešto nejasno - pitaj.

Da, mislim da ću se snaći oko ostatka zadatka.

Hvala puno na pomoći!