MATEMANIJA

Ako [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath], [inlmath]x‹2[/inlmath] i [inlmath]x\ne 3[/inlmath], onda je izraz
[dispmath]\frac{2x^2+5x-3}{x^2-9}-\frac{x^2-4}{(3-x)\sqrt{x^2-4x+4}}[/dispmath]
jednak:

Prvo nađemo nule kvadratnog trinoma [inlmath]2x^2+5x-3[/inlmath]:[dispmath]x_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt{25+24}}{4}=\frac{-5\pm 7}{4}[/dispmath][dispmath]x_1=-3\qquad x_2=\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad 2x^2+5x-3=2\left(x+3\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)=\left(x+3\right)\left(2x-1\right)[/dispmath]To uvrstimo u naš izraz:[dispmath]\frac{\left(x+3\right)\left(2x-1\right)}{x^2-9}-\frac{x^2-4}{\left(3-x\right)\sqrt{x^2-4x+4}}[/dispmath][inlmath]x^2-9[/inlmath] i [inlmath]x^2-4[/inlmath] razložimo kao razliku kvadrata; uočimo da potkorena veličina, [inlmath]x^2-4x+4[/inlmath], predstavlja kvadrat binoma:[dispmath]\frac{\left(x+3\right)\left(2x-1\right)}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}-\frac{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{\left(3-x\right)\sqrt{\left(x-2\right)^2}}[/dispmath][dispmath]\frac{\left(x+3\right)\left(2x-1\right)}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}-\frac{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{\left(3-x\right)\left|x-2\right|}[/dispmath]Pošto je u zadatku dato da je [inlmath]x<2[/inlmath], odatle sledi da je [inlmath]x-2<0[/inlmath], pa je [inlmath]\left|x-2\right|=-\left(x-2\right)[/inlmath]:[dispmath]\frac{\left(x+3\right)\left(2x-1\right)}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}-\frac{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{-\left(3-x\right)\left(x-2\right)}[/dispmath]Posle skračivanja jednakih faktora u brojiocu i imeniocu:[dispmath]\frac{2x-1}{x-3}-\frac{x+2}{-\left(3-x\right)}=\frac{2x-1}{x-3}-\frac{x+2}{x-3}=\frac{2x-1-x-2}{x-3}=\frac{x-3}{x-3}=1[/dispmath]

Hvala na brzom odgovoru!
Sada sam videla gde sam napravila grešku.
Kod rastavljanja trinoma sam izostavila [inlmath]2[/inlmath] ispred [inlmath]\left(x-\frac{1}{2}\right)(x+3)[/inlmath].