MATEMANIJA

Lijep pozdrav svima!

Evo me jos jednom sa jednim zadatkom koji me muci. Pokusavao sam da se korijena riješim stepenovanjem, ali nakon drugog stepenovanja uvidio sam da to nije ispravno i da se treba jos nesto uciniti. Zadatak je 1087. iz Veneove zbirke zadataka za srednje skole i glasi:
[dispmath]\left(\sqrt{2-\sqrt3}\right)^x+\left(\sqrt{2+\sqrt3}\right)^x=4[/dispmath] Poslije prvog stepenovanja dobio sam ovaj rezultat: [inlmath]\left(2-\sqrt3\right)^x+2+\left(2+\sqrt3\right)^x=16[/inlmath] ... Daljim korijenovanjem nisam dobio zeljeni rezultat pa sam tu i stao.
Molim za pomoc!

Pozdrav, mislim da se svaki ovakav zadatak radi na foru smene da je jedan od ovih [inlmath]t[/inlmath] npr a drugi [inlmath]\frac{1}{t}[/inlmath]. Dokaz za to je proizvod ta dva. Onda dobijes neku kvadratnu jednacinu gde ces imati koren iz kog nemas ceo broj, pa ga navuces na ono sto ti treba a ovde je [inlmath]3[/inlmath]. ( Daniel ce me ubiti zbog latexa) I posle samo vratis to [inlmath]t[/inlmath] u smenu, imaces [inlmath]\frac{x}{2}=\text{nesto}[/inlmath].

Dobro si krenuo da radiš. "Fora sa smenom" koju je pomenuo razer123 direktno proizilazi iz razlike kvadrata:
[dispmath](a+b)(a-b)=a^2-b^2[/dispmath][dispmath]a-b=\frac{a^2-b^2}{a+b}[/dispmath] U tvom slučaju je [inlmath]a=2[/inlmath], [inlmath]b=\sqrt3[/inlmath]. Smenom jednačinu svodiš na kvadratnu...

Jos ne razumijem sta mi je smjena? Jer ne mogu nikako da se rijesim ovog eksponenta "[inlmath]x[/inlmath]".. Da li jos jednom trebam kvadrirati jednacinu?

Kvadriranjem si (pravilno) došao dovde:
[dispmath]\left(2-\sqrt3\right)^x+2+\left(2+\sqrt3\right)^x=16[/dispmath] sada koristimo identitet koji sam ti pomenuo u prethodnom postu:
[dispmath]\left(2-\sqrt3\right)^x+\frac{1}{\left(2-\sqrt3\right)^x}=14[/dispmath] Smena: [inlmath]\left(2-\sqrt3\right)^x=t[/inlmath]:
[dispmath]t+\frac{1}{t}=14[/dispmath] i dalje ne bi trebalo da bude problema. Kada dobiješ dva rešenja po [inlmath]t[/inlmath], vodi računa koje od njih ima smisla, pošto ti je [inlmath]t[/inlmath] pozitivan broj stepenovan na realni eksponent.

razer123 je napisao:( Daniel ce me ubiti zbog latexa)

Oprošteno. Korigovao sam.

Aleksej je napisao:Poslije prvog stepenovanja dobio sam ovaj rezultat: [inlmath]\left(2-\sqrt3\right)^x+2+\left(2+\sqrt3\right)^x=16[/inlmath]

Ja bih izbegao to kvadriranje, jer bismo nakon njega dobili

miletrans je napisao:Smena: [inlmath]\left(2-\sqrt3\right)^x=t[/inlmath]:
[dispmath]t+\frac{1}{t}=14[/dispmath]

a odatle [inlmath]t_{1,2}=7\pm4\sqrt3[/inlmath] i onda bi nam već trebalo veštine da uočimo da je to zapravo isto što i [inlmath]\left(2\pm\sqrt3\right)^2[/inlmath].

Umesto toga, zar nije elegantnije odmah u početnoj jednačini uvesti smenu [inlmath]\left(\sqrt{2-\sqrt3}\right)^x=t[/inlmath] (ili [inlmath]\left(\sqrt{2+\sqrt3}\right)^x=t[/inlmath], potpuno svejedno), odakle bi se dobilo [inlmath]t+\frac{1}{t}=4[/inlmath], iz toga [inlmath]t_{1,2}=2\pm\sqrt3[/inlmath], odakle će rešenja po [inlmath]x[/inlmath] već biti sasvim očigledna?

Preporučujem i bacanje pogleda na ovaj zadatak, sličan je.

Pozdrav ljudi. Bas sam ovih dana malo aktivniji na ovom sajtu, pa se sjetih ove svoje objave. Gledam je ponovo i nikako da shvatim kako se od [inlmath]\left(2+\sqrt3\right)^x[/inlmath] dobije [inlmath]\frac{1}{\left(2-\sqrt3\right)^x}[/inlmath] Da li mi moze neko dati objasnjenje?

Shvatio sam. Nije potrebno da pojasnite.