MATEMANIJA

Proizvod najvećeg i najmanjeg celobrojnog rešenja nejednačine [inlmath]\left(3+2\sqrt2\right)^x+\left(3-2\sqrt2\right)^x\le34[/inlmath] je:
Tačan odgovor je [inlmath]-4[/inlmath].

[inlmath]\left(3-2\sqrt2\right)^x[/inlmath] sam napisao kao [inlmath]\frac{1}{\left(3+2\sqrt2\right)^x}[/inlmath]. Onda sam uveo smjenu [inlmath]t=\left(3+2\sqrt2\right)^x[/inlmath]. Iz nejednačine [inlmath]t+\frac{1}{t}\le34[/inlmath] sam dobio nule [inlmath]t=17-12\sqrt2[/inlmath] i [inlmath]t=17+12\sqrt2[/inlmath]. Kad vratim smjenu imam [inlmath]\left(3+2\sqrt2\right)^x=17-12\sqrt2[/inlmath] i [inlmath]\left(3+2\sqrt2\right)^x=17+12\sqrt2[/inlmath], ali ne znam kako da njih riješim (jer ovo nisu "lijepi brojevi", a ne pomaže mi puno da tražim [inlmath]\sqrt2[/inlmath] pa sabiram). Na wolphramu sam provjerio da ove dvije jednačine imaju rješenja, redom, [inlmath]-2[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath], čiji proizvod bi odgovarao tačnom odgovoru. Da li neko može da mi objasni kako da riješim one dvije jednačine (osim prostim nagađanjem )?

Došao si na "pola koraka" od kraja, samo treba malo "gimnastike":
[dispmath]17-12\sqrt2=9-12\sqrt2+8=9-2\cdot3\cdot2\sqrt2+8=3^2-2\cdot3\cdot2\sqrt2+\left(2\sqrt2\right)^2[/dispmath] Sada je jasno čemu je jednak ovaj izraz i kako ide dalje.

Nije mi ni palo na pamet da rastavljam one izraze. Mnogo hvala!

Uvek je kvadrat toga, makar svaki koji sam ja video ovakav