MATEMANIJA

1. Ako su [inlmath]\alpha[/inlmath] i [inlmath]\beta[/inlmath] rešenja kvadratne jednačine [inlmath]x^2+x+1=0[/inlmath] tada je izraz [inlmath]\frac{\alpha^3-\beta^3}{\alpha^4-\beta^4}[/inlmath] jednak:
2. Ako su [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] rešenja jednačine [inlmath]ax^2+bx+c=0[/inlmath], tada su [inlmath]x_1^3[/inlmath] i [inlmath]x_2^3[/inlmath] rešenja koje jednačine:
3. Data je jednačina [inlmath]x^2+(a+1)x+a^2-1=0,\;a\in\mathbb{R}[/inlmath]. Rešenja [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] jednačine su realna i zadovoljavaju uslov [inlmath]x_1^2+x_2^2-x_1x_2>0[/inlmath] ako i samo ako je paramater [inlmath]a[/inlmath]:

1)
Transformacijom:
[dispmath]\frac{α^3-β^3}{α^4-β^4}=\frac{(\alpha-\beta)\left(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2\right)}{(\alpha+\beta)(\alpha-\beta)\left(\alpha^2+\beta^2\right)}[/dispmath]
Kako je [inlmath]D\neq 0\;\alpha\neq\beta[/inlmath] to je jednako:
[dispmath]\frac{α^3-β^3}{α^4-β^4}=\frac{\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2}{(\alpha+\beta)\left(\alpha^2+\beta^2\right)}[/dispmath]
Vrednost [inlmath]\alpha+\beta[/inlmath] znamo iz Vijetove formule...
Izraze [inlmath]\alpha^2+\alpha \beta+\beta^2[/inlmath] i [inlmath]\alpha^2+\beta^2[/inlmath] svodimo na njih...
[dispmath]\alpha^2+\alpha\beta +\beta^2=(\alpha+\beta)^2-\alpha\beta[/dispmath]
[dispmath]\alpha^2+\beta^2=(\alpha +\beta)^2-2\alpha\beta[/dispmath]

Po sličnom principu se rade i drugi i treći, isto preko Vietovih formula. U drugom zadatku izračunaj čemu je jednako [inlmath]x_1^3+x_2^3[/inlmath] i [inlmath]x_1^3x_2^3[/inlmath], tako što ćeš te izraze napisati u oblicima u kojima figurišu [inlmath]x_1+x_2[/inlmath] i [inlmath]x_1x_2[/inlmath], kao što je Milovan radio za prvi zadatak. U trećem zadatku isto tako, pri čemu imaš još i dodatni uslov da su rešenja jednačine realna, što znači da diskriminanta mora biti veća ili jednaka nuli (za [inlmath]D=0[/inlmath] rešenja su jednaka). Zatim nađeš presek ta dva skupa rešenja.