MATEMANIJA

Probni prijemni ispit ETF - 10. jun 2017.
16. zadatak

Ovaj zadatak mi je oduzeo bas puno vremena na probnom prijemnom, ali nisam uspela da ga resim do kraja.
Ako su [inlmath]p[/inlmath], [inlmath]q[/inlmath] i [inlmath]r[/inlmath] koreni jednacine [inlmath]x^3-x+1=0[/inlmath], tada je [inlmath]p^5+q^5+r^5[/inlmath] jednako:
[inlmath]A)\;0\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{B)}\;-5\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;-2\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;-3\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;-4[/inlmath]
Resenje je pod [inlmath]B)[/inlmath]. Posto jednacina ne moze da se rastavi Bezuovim stavom, odlucila sam se na Vijetove formule, odakle je
[inlmath]p+q+r=0\\
pq+pr+qr=-1\\
pqr=-1[/inlmath]
Posto imam tri nepoznate i tri jednacine, odlucila sam se da samo prvu jednacinu dignem na [inlmath]5.[/inlmath] stepen odnosno dva puta na [inlmath]2.[/inlmath] i jednom na [inlmath]1.[/inlmath] . Ali sto sam vise skracivala i vise mnozila to je rezultat bio komplikovaniji...
Moze li neko da mi pomogne oko ovog zadatka, da li uopste treba da se radi preko Vijetovih formula?

Kako god radili ovaj zadatak, potrebno je dobro poznavanje identiteta u algebri.
Najzgodnije bi bilo iskoristiti ovo:
Ako je [inlmath]a+b+c=0[/inlmath] onda je [inlmath]\frac{a^5+b^5+c^5}{ab+bc+ac}=-5abc[/inlmath]. Odavde rešenje direktno sledi.

No, pitanje je da li iko za ovo zna (nisam ni ja znao). Ono što znam je sledeća formula preko koje zadatak postaje rešiv:
[dispmath]a^5+b^5=(a+b)\left(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4\right)[/dispmath] U opštem obliku formula se nalazi ovde.
Znamo da je [inlmath]p+q=-r[/inlmath] i [inlmath]pq=-\frac{1}{r}[/inlmath] i [inlmath]pq+qr+pr=-1[/inlmath]. Zadatak se radi ovako:
[dispmath]\begin{align}
p^5+q^5&=(p+q)\left(p^4-p^3q+p^2q^2-pq^3+q^4\right)\\
&=(p+q)\left(p^4+q^4-pq\left(p^2+q^2\right)+(pq)^2\right)\\
&=(p+q)\left(\left(p^2+q^2\right)^2-2p^2q^2-pq\left((p+q)^2-2pq\right)+(pq)^2\right)\\
&=(p+q)\left(\left((p+q)^2-2pq\right)^2-2(pq)^2-pq\left((p+q)^2-2pq\right)+(pq)^2\right)\\
&=-r\left(\left(r^2-2\cdot\left(-\frac{1}{r}\right)\right)^2-2\cdot\frac{1}{r^2}-\left(-\frac{1}{r}\right)\left(r^2-2\cdot\left(-\frac{1}{r}\right)\right)+\frac{1}{r^2}\right)\\
&=-r\left(r^4+4r+\frac{4}{r^2}-\frac{1}{r^2}+\frac{1}{r}\left(r^2+\frac{2}{r}\right)\right)\\
&=-r\left(r^4+4r+\frac{4}{r^2}-\frac{1}{r^2}+r+\frac{2}{r^2}\right)\\
&=-r\left(r^4+\frac{5}{r^2}+5r\right)\\
&=-r^5-\frac{5}{r}-5r^2
\end{align}[/dispmath] Analogno se dobija [inlmath]p^5+r^5=-q^5-\frac{5}{q}-5q^2[/inlmath] i [inlmath]q^5+r^5=-p^5-\frac{5}{p}-5p^2[/inlmath]. Dakle:
[dispmath]2\left(p^5+q^5+r^5\right)=-\left(p^5+q^5+r^5\right)-\left(\frac{5}{p}+\frac{5}{q}+\frac{5}{r}\right)-5\left(p^2+q^2+r^2\right)\\
3\left(p^5+q^5+r^5\right)=-5\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}\right)-5\left(p^2+q^2+r^2\right)[/dispmath] Sada ćemo deo po deo transformisati ovaj izraz:
[dispmath]\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}=\frac{pq+pr+qr}{pqr}=\frac{-1}{-1}=1[/dispmath][dispmath]p^2+q^2+r^2=(p+q+r)^2-2(pq+pr+qr)=0-2\cdot(-1)=2[/dispmath] Kada ovo uvrstimo dobijamo:
[dispmath]3\left(p^5+q^5+r^5\right)=-5\cdot1-5\cdot2=-15\;\Longrightarrow\;p^5+q^5+r^5=\enclose{box}{-5}[/dispmath]

Hvala puno!

Evo još jednog načina, možda malo komplikovanijeg, budući da nisam koristio pomenuto rastavljanje [inlmath]a^5+b^5=(a+b)\left(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4\right)[/inlmath] već, naprotiv, razvijanje binoma petog stepena, po binomnoj formuli [inlmath](a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}a^{n-k}b^k[/inlmath].
[dispmath](p+q+r)^5=(p+q)^5+5(p+q)^4r+10(p+q)^3r^2+10(p+q)^2r^3+5(p+q)r^4+r^5=[/dispmath][dispmath]=p^5+5p^4q+10p^3q^2+10p^2q^3+5pq^4+q^5+5p^4r+20p^3qr+30p^2q^2r+20pq^3r+5q^4r+\\
+10p^3r^2+30p^2qr^2+30pq^2r^2+10q^3r^2+10p^2r^3+20pqr^3+10q^2r^3+5pr^4+5qr^4+r^5[/dispmath] Nakon grupisanja sabiraka s jednakim koeficijentima dobije se
[dispmath]\begin{align}
(p+q+r)^5&=p^5+q^5+r^5+\\
&+5\left(p^4q+pq^4+p^4r+q^4r+pr^4+qr^4\right)+\\
&+10\left(p^3q^2+p^2q^3+p^3r^2+q^3r^2+p^2r^3+q^2r^3\right)+\\
&+20\left(p^3qr+pq^3r+pqr^3\right)+\\
&+30\left(p^2q^2r+p^2qr^2+pq^2r^2\right)
\end{align}[/dispmath] Pa sad računamo svaki od ovih izraza u zagradama:
[dispmath]p^4q+pq^4+p^4r+q^4r+pr^4+qr^4=p^4\underbrace{(q+r)}_{-p}+q^4\underbrace{(p+r)}_{-q}+r^4\underbrace{(p+q)}_{-r}=-\left(p^5+q^5+r^5\right)[/dispmath] Radi računanja narednog izraza biće potrebno da znamo čemu je jednako [inlmath]p^2q^2[/inlmath], [inlmath]p^2r^2[/inlmath] i [inlmath]q^2r^2[/inlmath]:
[inlmath]pqr=-1\quad\Longrightarrow\quad p^2q^2r^2=1\quad\Longrightarrow\quad\begin{cases}
p^2q^2=\frac{1}{r^2}\\
p^2r^2=\frac{1}{q^2}\\
q^2r^2=\frac{1}{p^2}
\end{cases}[/inlmath]
[dispmath]p^3q^2+p^2q^3+p^3r^2+q^3r^2+p^2r^3+q^2r^3=\underbrace{p^2q^2}_{\frac{1}{r^2}}\underbrace{(p+q)}_{-r}+\underbrace{p^2r^2}_{\frac{1}{q^2}}\underbrace{(p+r)}_{-q}+\underbrace{q^2r^2}_{\frac{1}{p^2}}\underbrace{(q+r)}_{-p}=\\
=-\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}\right)=-\frac{pq+pr+qr}{pqr}=-1[/dispmath][dispmath]p^3qr+pq^3r+pqr^3=pqr\left(p^2+q^2+r^2\right)=pqr\Bigl[(p+q+r)^2-2(pq+pr+qr)\Bigr]=-2[/dispmath][dispmath]p^2q^2r+p^2qr^2+pq^2r^2=pqr(pq+pr+qr)=1[/dispmath] Zatim sve to uvrštavamo u prethodnu jednakost:
[dispmath]{\underbrace{(p+q+r)}_0}^5=p^5+q^5+r^5-5\left(p^5+q^5+r^5\right)+10\cdot(-1)+20\cdot(-2)+30\cdot1\\
0=-4\left(p^5+q^5+r^5\right)-20\\
\enclose{box}{p^5+q^5+r^5=-5}[/dispmath]

Dragi moji ako danas nisam razbila glavu razmisljajuci kako jos lakse da resim zadatak nikad necu
Ovo je definitivno najbrze
[inlmath]p[/inlmath], [inlmath]q[/inlmath], [inlmath]r[/inlmath] su resenja ubacila sam ih u jednacinu jer sto da ne kada su resenja
[inlmath]p^3-p+1=0[/inlmath] odakle je [inlmath]p^3=p-1[/inlmath]
[inlmath]q^3-q+1=0[/inlmath] odakle je [inlmath]q^3=q-1[/inlmath]
[inlmath]r^3-r+1=0[/inlmath] odakle je [inlmath]r^3=r-1[/inlmath]
[inlmath]p^3+q^3+r^3=-3[/inlmath]
[inlmath](p+q+r)^2=p^2+q^2+r^2+2(pq+pr+qr)[/inlmath], [inlmath]p+q+r=0[/inlmath]; [inlmath]pq+pr+qr=-1[/inlmath]
[inlmath]p^2+q^2+r^2=2[/inlmath]
[inlmath]p^5+q^5+r^5=p^3\cdot p^2+q^3\cdot q^2+r^3\cdot r^2=(p-1)p^2+(q-1)q^2+(r-1)r^2=p^3+q^3+r^3-\left(p^2+q^2+r^2\right)=-3-2=\enclose{box}{-5}[/inlmath]