MATEMANIJA

Kako zapoceti resavanje ovakvog zadatka?

Skup realnih vrednosti [inlmath]x[/inlmath] za koje je tacna nejednakost [inlmath]\displaystyle\frac{6}{2^x-1}+\frac{3}{2^x+1}>\frac{2}{2^x-1}+5[/inlmath] je:

Kako da započneš? Pomnoži obe strane sa [inlmath]\left(2^x-1\right)\left(2^x+1\right)[/inlmath].

To nikako.

Može, može. Jedino treba voditi računa o tome da [inlmath]2^x-1[/inlmath] može biti negativno. I, naravno, postaviti uslove definisanosti.

Htedoh da napišem da treba povesti računa o tome da li se množi pozitivnim ili negativnim brojem, ali pošto je jaca tražila samo prvi korak...

Poštovani, kad ovako pomnožim dobijam nelogičan rezultat, postoji li drugi način da se uradi? Hvala!

Na koji god način da radiš, ako je postupak ispravan, moraš dobiti isti rezultat.
Koji to „nelogičan“ rezultat dobiješ?
Možeš li pokazati svoj postupak, kako bismo ti ukazali na eventualnu grešku?

Ja kad tako nisam sigurna da li smem da mnozim radim klasicnom metodom, dovedem sve na zajednicki imenilac...prebacim ono sto je sa desne strane na levu, tako da na desno ostaje nula...dobices kada sve lepo izmnozis i grupises jednostavnu eksponencijalnu nejednacinu, kao smenu uzela sam [inlmath]2^x=t[/inlmath] i kada se sve lepo sredi, pogleda znak preko tabele dobija se tacno resenje da [inlmath]x\in(0,1)[/inlmath]

@jovanjaa

Ono što je možda ostalo nedorečeno u mom prethodnom postu su upravo uslovi definisanosti i znak koje je pomenuo Daniel. Posmatramo imenioce razlomaka, [inlmath]2^x+1[/inlmath] nam nije sporan, uvek je pozitivan. Sa druge strane, moramo da vodimo računa o [inlmath]2^x-1[/inlmath]. On ne sme da bude jednak [inlmath]0[/inlmath], pošto bi imali nulu u imeniocu razlomka. Dakle, [inlmath]x[/inlmath] ne sme da bude [inlmath]0[/inlmath]. Sa druge strane, ako je [inlmath]x>0[/inlmath], imenilac (samim tim i ceo razlomak je pozitivan, pa možemo da prebacujemo sa jedne na drugu stranu znaka nejednakosti "bez brige". Ali, ako je [inlmath]x<0[/inlmath], tada je imenilac negativan, i u tom slučaju vodi računa o znaku nejednakosti kada sve množiš negativnim brojem.

Ja sam ovo radio na malo drugačiji način. Uveo sam smjenu [inlmath]t=2^x[/inlmath] pri čemu znamo da [inlmath]t[/inlmath] mora biti veće od nule jer stepen pozitivnog broje ne može biti negativan. Nakon toga sam riješio običnu kvadratnu nejednačinu po [inlmath]t[/inlmath], (opet znajući da [inlmath]t[/inlmath] mora biti pozitivno) i dobio da je [inlmath]t[/inlmath] interval [inlmath](1,2)[/inlmath]. U smjenu sam vratio te granične vrijednosti i dobio da je [inlmath]x=(0,1)[/inlmath] što je tačno rješenje ovog zadatka.