MATEMANIJA

11. zadatak
Treba odrediti koeficijente [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] sistema jednacina tako da sistem ima beskonacno mnogo resenja
[dispmath]ax-6y=8\\
x+by=4\;\Longrightarrow\;x=4-by[/dispmath] Sada cu [inlmath]x[/inlmath] koje sam izrazila iz druge jednacine da ubacim u prvu jednacinu
[dispmath]a\cdot(4-by)-6y=8\\
y\cdot(-ab-6)=8-4a\\
y\cdot(ab+6)=4a-8\\
y=\frac{4a-8}{ab+6}[/dispmath] Ova jednacina ce imati beskonacno mnogo resenja, ako je [inlmath]ab=-6[/inlmath]
Sad iz ove jednacine moze da se izrazi [inlmath]a[/inlmath] ili [inlmath]b[/inlmath], ja sam [inlmath]a[/inlmath] izrazila preko [inlmath]b[/inlmath], gde je [inlmath]a=-\frac{6}{b}[/inlmath]
[dispmath]-\frac{6}{b}\cdot x-6y=8\\
x+by=4\;\Longrightarrow\;x=4-by\\
-\frac{6}{b}\cdot(4-by)-6y=8\\
-\frac{24}{b}+6y-6y=8\\
b=-3\\
ab=-6,\quad b=-3\\
a=2\\
a+b=\enclose{box}{-1}[/dispmath]

Ja bih ovu proceduru malo skratio. Znamo da je uslov da sistem ima beskonačan broj rešenja da nam se kao rešenje pojavi jednakost oblika [inlmath]x=\frac{0}{0}[/inlmath]. Sada bih direktno iskoristio razlomak koji je Nađa dobila za [inlmath]y[/inlmath], pa bih brojilac i imenilac odvojeno izjednačio sa nulom, pa rešavao kao sistem:
[dispmath]4a-8=0[/dispmath][dispmath]ab+6=0[/dispmath] U suštini, Nađa je svojim postupkom to i uradila, samo je išla "obilaznim" putem.

[dispmath]ax-6y=8\\
x+by=4\quad\Big/\cdot2\\
2x+2by=8\\
a=2\\
b=-3[/dispmath] Nemoj joj govoriti da je kružila, osetljiva je na to

Slazem se da je to bio kraci nacin da se resi zadatak.
Ne brini se nisam osetljiva

Nađa je napisao:Ova jednacina ce imati beskonacno mnogo resenja, ako je [inlmath]ab=-6[/inlmath]

Samo da dopunim ovaj deo. Sistem bi imao beskonačan broj rešenja ako su i brojilac i imenilac jednaki [inlmath]0[/inlmath]. Ako bi brojilac bio bilo koji drugi realan broj osim [inlmath]0[/inlmath], a imenilac [inlmath]0[/inlmath], sistem bi bio nesaglasan (ne bi imao rešenja).
Zamisli da dobiješ [inlmath]y=\frac{5}{0}[/inlmath]. To bi značilo da tražimo broj koji pomnožen nulom daje broj [inlmath]5[/inlmath].

Da dodam i ja još jedan način koji je malo komplikovaniji. Pomoću determinanti. Ovaj sistem je dosta isplativiji kada se radi o sistemu linearnih jednačina sa tri nepoznate, ali je jednako primenljiv i na onaj sa dve (kao što je ovaj u zadatku).
Ako imamo sistem od dve linearne jednačine sa dve nepoznate [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]:
[dispmath]a_1x+b_1y=c_1\\
a_2x+b_2y=c_2[/dispmath] Determinanta ovog sistema je:
[dispmath]\Delta=\begin{vmatrix}
a_1 & b_1\\
a_2 & b_2
\end{vmatrix}=a_1b_2-a_2b_1[/dispmath] Dok su pomoćne determinante:
[dispmath]\Delta_x=\begin{vmatrix}
c_1 & b_1\\
c_2 & b_2
\end{vmatrix}=c_1b_2-c_2b_1\\
\Delta_y=\begin{vmatrix}
a_1 & c_1\\
a_2 & c_2
\end{vmatrix}=a_1c_2-a_2c_1[/dispmath] Rešenje našeg sistema je uređeni par:
[dispmath](x,y)=\left(\frac{\Delta_x}{\Delta},\frac{\Delta_y}{\Delta}\right)[/dispmath] Da bi sistem imao beskonačno mnogo rešenja potrebno je da važi:
[dispmath]\Delta=\Delta_x=\Delta_y=0[/dispmath] Da dodam i za ostale situacije, ako je [inlmath]\Delta\ne0[/inlmath] sistem ima jedinstveno rešenje, a ako je [inlmath]\Delta=0[/inlmath] i [inlmath]\Delta_x\ne0\lor\Delta_y\ne0[/inlmath] onda je sistem nemoguć, tj. nema realnih rešenja.

Dakle, u ovom konkretnom zadatku bilo bi:
[dispmath]\Delta=\begin{vmatrix}
a & -6\\
1 & b
\end{vmatrix}=ab+6\\
\Delta_x=\begin{vmatrix}
8 & -6\\
4 & b
\end{vmatrix}=8(b+3)\\
\Delta_y=\begin{vmatrix}
a & 8\\
1 & 4
\end{vmatrix}=4(a-2)[/dispmath] Da bi ovaj sistem imao beskonačno mnogo rešenja potrebno je da [inlmath]\Delta_x=0[/inlmath], odnosno [inlmath]\enclose{box}{b=-3}[/inlmath] i [inlmath]\Delta_y=0[/inlmath] odnosno [inlmath]\enclose{box}{a=2}[/inlmath]. Samim tim je i [inlmath]\Delta=0[/inlmath].

P. S. @Nađa: kada hoćeš nešto u Latex-u da napišeš u novom redu ne moraš opet kliktati na equation tag nego sve možeš napisati u okviru jednog tako što ćeš na kraj reda staviti \\. Na taj način se smanjuje razmak između redova. Sad sam ti prepravio, pa možeš da vidiš kako izgleda ukoliko na svom postu klikneš na "Citiraj".

Corba248 je napisao:P. S. @Nađa: kada hoćeš nešto u Latex-u da napišeš u novom redu ne moraš opet kliktati na equation tag nego sve možeš napisati u okviru jednog tako što ćeš na kraj reda staviti \\. Na taj način se smanjuje razmak između redova. Sad sam ti prepravio, pa možeš da vidiš kako izgleda ukoliko na svom postu klikneš na "Citiraj".

Mada, onda kada želimo da bude nešto veći prored kako redovi ne bi bili previše priljubljeni jedan uz drugi, može i ovako kako je Nađa pisala (equation-tagovi jedan za drugim u produžetku), a mogu se i unutar istog equation-taga koristiti i tri backslasha, npr:
2+3=5\\\
\\\
3+4=7
Kako se kome više sviđa...