MATEMANIJA

Jednacina [inlmath]\left|x^2-5|x|+6\right|=a[/inlmath], [inlmath]a\in\mathbb{R}[/inlmath] ima maksimalan broj resenja za [inlmath]a[/inlmath] jednako:
[inlmath]a)\;a=\frac{1}{4}\quad[/inlmath] [inlmath]b)\;a\in\Bigl(0,\frac{1}{4}\Bigr)\quad[/inlmath] [inlmath]c)\;a=0\quad[/inlmath] [inlmath]d)\;a\in\left(6,+\infty\right)\quad[/inlmath] [inlmath]e)\;a\in\Bigl[\frac{1}{4},6\Bigr)[/inlmath]
U pocetku nisam imala ideju kako da resim ovaj zadatak, medjutim palo mi je na pamet da pokusam da ga resim graficki...
Nacrtala sam grafike sa dve jednacine
[dispmath]x^2+5x+6=0\\
x^2-5x+6=0[/dispmath] i imam cetiri nule, presecne tacke na [inlmath]x[/inlmath] osi, da li je onda maksimalan broj resenja za [inlmath]a=0[/inlmath]?

Dobar početak, ali zašto si za desnu stranu izabrala baš [inlmath]0[/inlmath], a ne [inlmath]7[/inlmath], [inlmath]84[/inlmath] ili [inlmath]e^{\pi}[/inlmath]? Sa desne strane treba da imamo [inlmath]a[/inlmath]. Pravilno si zaključila da ćeš imati dve kvadratne jednačine i svaka od njih može imati po maksimalno dva realna rešenja. A kada kvadratna jednačina ima dva različita realna rešenja? Ako joj je diskriminanta strogo veća od [inlmath]0[/inlmath]. Dakle, na obe desne strane pišeš [inlmath]a[/inlmath] i određuješ za koje vrednosti su obe diskriminante pozitivne.

Tako mi je bilo lakse xD um jao pa da xD Boze ako stavim da je nula automatski je [inlmath]a[/inlmath] nula...pa kako da resim zadatak?

Mislim kada su te jednacine jednake nuli, sam nacrtala njihove grafike msm kako da ih nacrtam da je bio neki drugi broj ili izraz? Kada sam ih nacrtala vukla sam prave paralelne sa [inlmath]x[/inlmath]-osom, i najvise je bilo preseka sa [inlmath]x[/inlmath]-osom...

Ne moraš ništa da crtaš. Prva jednačina glasi
[dispmath]5x^2+5x+6=a\\
5x^2+5x+6-a=0[/dispmath] Njena diskriminanta je [inlmath]D=25-20(6-a)[/inlmath]. Da bi jednačina imala dva realna i različita rešenja, mora da bude ispunjen uslov [inlmath]D\gt0[/inlmath]. Odavde sad odrediš moguće vrednosti parametra [inlmath]a[/inlmath]. U drugoj jednačini diskriminanta ima istu vrednost, a ne može da se dogodi da ove dve jednačine imaju ista rešenja. Dakle, kada rešiš nejednačinu sa diskriminantom, to su "dozvoljene" vrednosti parametra [inlmath]a[/inlmath].

Hvala puno samo kod [inlmath]x^2[/inlmath] imate visak [inlmath]5[/inlmath]

Sa slike vidimo da postoje vrednosti [inlmath]a[/inlmath] za koje jednačina ima [inlmath]8[/inlmath] rešenja što je maksimalan broj rešenja.

Izinjavam se na lapsusu. Onda je i diskriminanta [inlmath]25-4(6-a)[/inlmath], a ne [inlmath]25-20(6-a)[/inlmath]. Ali, smisao komentara ostaje.

Hvala jos jednom...

8 resenja?

Moj previd. "Povukle" su me ove dve jednačine koje je Nađa napisala. Potpuno sam prevideo da je cela kvadratna jednačina unutar apsolutne vrednosti. Izvinjavam se, brži su mi bili prsti od pameti.

Koliki je po vama max broj rešenja? Mada to i nije traženo u zadatku.