MATEMANIJA

Evo mene s dva probl

1. U planinarskom domu „Borovnica“ cijene iznajmljivanja soba uobičajeno su [inlmath]100[/inlmath] kuna po sobi, ali ako dolazi grupa koja će uzeti više soba, cijena se umanjuje za [inlmath]3[/inlmath] kune po sobi. Na primjer, [inlmath]1[/inlmath] soba košta [inlmath]100[/inlmath] kuna, [inlmath]2[/inlmath] sobe koštaju [inlmath]2\cdot 97=194[/inlmath] kune, [inlmath]3[/inlmath] sobe koštaju [inlmath]3\cdot 94=282[/inlmath] kune itd. U domu su [inlmath]23[/inlmath] sobe.
a) Napišite kvadratnu funkciju [inlmath]C[/inlmath] koja izražava cijenu za iznajmljivanje [inlmath]x[/inlmath] soba.
b) Koja je konačna cijena za iznajmljivanje [inlmath]6[/inlmath] soba?
c) Koliko je soba iznajmljeno ako je konačna cijena [inlmath]730[/inlmath] kuna?
d) S koliko najviše iznajmljenih soba se najviše zarađuje?

2. (NI 2009.) Temperatura [inlmath]T[/inlmath] (u [inlmath]^\circ\mbox{C}[/inlmath]) u stakleniku [inlmath]t[/inlmath] sati nakon početka sumraka dana je formulom [inlmath]T\left(t\right)=\frac{1}{4}t^2-5t+30,\:0\le t\le 12[/inlmath]. Uzima se da sumrak počinje u [inlmath]19:00[/inlmath] sati.
a) Kolika je temperatura bila u [inlmath]21:00[/inlmath] sat?
b) U koliko je sati temperatura bila minimalna?
c) Koliko je iznosila minimalna temperatura u stakleniku?

U vezi drugog, pod [inlmath]a)[/inlmath] samo u [inlmath]t[/inlmath] ubaciš koliko je sati prošlo tj. [inlmath]2[/inlmath] i dobiješ rezultat

Za ostalo idi ovde
viewtopic.php?f=2&t=94

Evo i prvog, sa sobama.

[inlmath]a)[/inlmath]
Pošto se cena po jednoj sobi umanjuje za [inlmath]3[/inlmath] kune sa svakim povećanjem broja iznajmljenih soba, cenu po jednoj sobi možemo zapisati kao
[dispmath]C_1=n-3x[/dispmath]
gde je [inlmath]x[/inlmath] broj iznajmljenih soba, a [inlmath]n[/inlmath] neki broj koji treba odrediti. Pošto je, kada se iznajmljuje samo jedna soba, tj. kada je [inlmath]x=1[/inlmath], cena te jedne sobe jednaka [inlmath]100[/inlmath] kuna, imamo da je
[dispmath]C_1=n-3\cdot 1=100[/dispmath]
odakle nalazimo da je [inlmath]n=103[/inlmath]. Dakle, cena po jednoj sobi je
[dispmath]C_1=103-3x[/dispmath]
gde je [inlmath]x[/inlmath] broj iznajmljenih soba.

Ukupna cena iznajmljivanja se dobije kada se cena po jednoj sobi pomnoži brojem iznajmljenih soba:
[dispmath]C=x\cdot C_1[/dispmath][dispmath]C=x\left(103-3x\right)[/dispmath][dispmath]C=-3x^2+103x[/dispmath]

[inlmath]b)[/inlmath]
Cenu za iznajmljivanje [inlmath]6[/inlmath] soba dobiješ tako što u dobijeni izraz za cenu samo uvrstiš [inlmath]6[/inlmath] umesto [inlmath]x[/inlmath]:
[dispmath]C=-3\cdot 6^2+103\cdot 6=510[/dispmath]

[inlmath]c)[/inlmath]
Postaviš jednačinu
[dispmath]C=730[/dispmath][dispmath]-3x^2+103x-730=0[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath][dispmath]x_1=10\quad x_2=\frac{73}{3}[/dispmath]
Smisla ima, naravno, samo celobrojna vrednost, tako da uzimamo rešenje [inlmath]x=10[/inlmath].

[inlmath]d)[/inlmath]
Da bismo našli [inlmath]x[/inlmath] za koje je [inlmath]C[/inlmath] maksimalno, treba naći za koje [inlmath]x[/inlmath] će kvadratna funkcija [inlmath]-3x^2+103x[/inlmath] imati maksimalnu vrednost. Pošto je koeficijent uz kvadratni član negativan, njeno teme će predstavljati maksimum, a [inlmath]x[/inlmath]-koordinata temena je data sa [inlmath]-\frac{b}{2a}[/inlmath], tj. u ovom slučaju, [inlmath]a=-3[/inlmath], [inlmath]b=103[/inlmath], pa se dobije da je [inlmath]x=\frac{103}{6}[/inlmath] i nađe se najbliža celobrojna vrednost, a to je [inlmath]x=17[/inlmath].