MATEMANIJA

Ako je [inlmath]a=\left(7+4\sqrt3\right)^{-1}[/inlmath] i [inlmath]b=\left(7-4\sqrt3\right)^{-1}[/inlmath], onda rešenje jednačine [inlmath]a^x+b^x=2[/inlmath] pripada intervalu:
[inlmath]1)\quad[0,1)\\
2)\quad[1,2)\\
3)\quad[2,3)\\
4)\quad[3,4)\\
5)\quad[-1,0)[/inlmath]

Ja sam počela ovako:
[dispmath]a=\frac{1}{7+4\sqrt3}\cdot\frac{7-4\sqrt3}{7-4\sqrt3}=7-4\sqrt3[/dispmath][dispmath]b=\frac{1}{7-4\sqrt3}\cdot\frac{7+4\sqrt3}{7+4\sqrt3}=7+4\sqrt3[/dispmath][dispmath]\left(7-4\sqrt3\right)^x+\left(7+4\sqrt3\right)^x=2[/dispmath] Probala sam ovo da kvadriram, ali nikako ne mogu do kraja da sredim izraz..

Uzmi za smenu [inlmath]7-4\sqrt3[/inlmath] da ti je to neko [inlmath]t[/inlmath] posto je [inlmath]7+4\sqrt3[/inlmath] reciprocna vrednost od toga, sto si sama dokazala u svom postu [inlmath]7+4\sqrt3[/inlmath] oznaci sa [inlmath]\frac{1}{t}[/inlmath] i resi kvadratnu jednacinu Mislim da se za [inlmath]x[/inlmath] dobije da je nula

Jeste tako, dobila sam i ja [inlmath]0[/inlmath], tako da je rešenje pod [inlmath]1)[/inlmath]

[dispmath]7+4\sqrt3=\left(2+\sqrt3\right)^2=\left(\frac{4+2\sqrt3}{2}\right)^2=\left(\frac{\left(1+\sqrt3\right)^2}{2}\right)^2=\frac{\left(1+\sqrt3\right)^4}{4}[/dispmath] Ovo zapažanje nam ovde nije od koristi jer postoji samo jedno trivijalno rešenje ali negde drugde može biti upotrebljivo.