MATEMANIJA

Prijemni ispit FON – 27. jun 2009.
17. zadatak

Data je jednačina [inlmath](m-1)x^2-2mx+m+2=0[/inlmath] gdje je [inlmath]m\ne1[/inlmath]. Skup svih vrijednosti realnog parametra [inlmath]m[/inlmath] za koje su rješenja jednačine pozitivna je: [inlmath](-\infty,-2)\cup(1,2][/inlmath]
Za uslov sam stavio da oba rješenja kvadratne jednačine budu pozitivna, tj. da je pozitivno i za [inlmath]+[/inlmath] i za [inlmath]-[/inlmath] u formuli za rješavanje kvadratne jednačine, pa sam imao dvije nejednačine. Riješio sam ih obe i za jednu sam dobio [inlmath](-\infty,-2)[/inlmath], a za drugu [inlmath](1,2][/inlmath]. Sada, meni je bilo logično da njihov presjek, tj. prazan skup bude tačno rješenje, ali je rješenje ipak njihova unija. Zašto je to tako?
Zadatak je sa FON-ovog prijemnog iz 2009. godine

Možeš da rešavaš na drugi način, preko Vijetovih formula. Da bi oba rešenja bila pozitivna mora i [inlmath]x_1+x_2[/inlmath] i [inlmath]x_1x_2[/inlmath] da bude veće od nule. Možda ti ovaj način bude jasniji. A konkretan odgovor na tvoje pitanje ću ti možda uskoro napisati

Palo mi je na pamet da mogu raditi preko Vijetovih formula, ali nisam znao koji uslov da postavim. Hvala na pomoći!

[inlmath]m\ne1[/inlmath] je bio uslov u zadatku. Da bi oba rešenja bila pozitivna postoje tri uslova,

Što se tiče tvog prethodnog postupka, verovatno si negde napravio gresku. Komplikovanije je da se reši na taj način. Za to i služe Vijetove formule, da nam olakšaju postupak. A, kao što si i sam rekao, trebalo bi u tvom postupku da rešenje bude presek, a ne unija... Samo ti intervali verovatno nisu dobri, zbog nekog propusta u rešavanju

Ako bi radio s postavljanjem uslova da svako od rešenja bude pozitivno (tj. bez Vietovih formula), trebalo bi da dobiješ [inlmath]m\in(-\infty,-2)\cup(1,2][/inlmath] i [inlmath]m\in(-\infty,1)\cup(1,2][/inlmath], pa je njihov presek ovaj prvi skup rešenja, [inlmath]m\in(-\infty,-2)\cup(1,2][/inlmath]. Tako da, potvrđujem da imaš negde grešku u postupku, a sasvim slučajno se tako potrefilo da rešenje koje treba da se dobije predstavlja uniju tvojih (pogrešnih) rešenja.

Ako radiš preko Vietovih formula, tj. postaviš uslove [inlmath]x_1+x_2>0[/inlmath] i [inlmath]x_1x_2>0[/inlmath], nemoj zaboraviti da postaviš i treći uslov, da je diskriminanta nenegativna – kako bismo uopšte i mogli govoriti o realnim rešenjima.
(Čini mi se da je upravo to i bobanex hteo da kaže, samo mu iz nekog razloga nije objavljen kompletan post.)