MATEMANIJA

Prijemni ispit ETF – 26. jun 2017.
19. zadatak

Skup svih vrednosti realnog parametra [inlmath]m[/inlmath] za koje koreni [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] kvadratne jednacine [inlmath]x^2+(2+m)x-6m^2+11m=3[/inlmath] zadovoljavaju jednakost [inlmath]\frac{2x_1}{x_2}+\frac{x_2}{2x_1}\leq2[/inlmath] je oblika?

Resenje je [inlmath](-\infty,a)\cup\{b,c\}\cup(d,\infty)[/inlmath]

E sad znam ja kako se rade ovakvi zadaci, primenimo vijetova pravila, sredimo nejednacinu i stavimo da je [inlmath]D<0[/inlmath] (obicno) ali mi samo treba savet kako da pretvorim ovu nejednacinu s obzirom da ostane visak od [inlmath]3{x_1}^2[/inlmath]

[dispmath]\frac{2x_1}{x_2}+\frac{x_2}{2x_1}\le2\\
\frac{2x_1}{x_2}=a\\
a+\frac{1}{a}\le2\\
a<0\quad\lor\quad a=1\\
\frac{2x_1}{x_2}<0\\
\frac{x_1}{x_2}<0\\
x_1x_2<0\\
-6m^2+11m-3<0\\
m<\frac{1}{3}\quad\lor\quad m>\frac{3}{2}[/dispmath] Evo ti jedan deo.
[dispmath]\frac{2x_1}{x_2}=1\\
x_2=2x_1\\
x_1+x_2=3x_1\\
x_1x_2=2{x_1}^2\\
\left(x_1+x_2\right)^2=9{x_1}^2\\
\frac{\left(x_1+x_2\right)^2}{x_1x_2}=\frac{9}{2}\\
\frac{\left(m+2\right)^2}{-6m^2+11m-3}=\frac{9}{2}\\
m\in\left\{\frac{5}{8},1\right\}[/dispmath]
[dispmath]\left(-\infty,\frac{1}{3}\right)\cup\left\{\frac{5}{8},1\right\}\cup\left(\frac{3}{2},\infty\right)[/dispmath]