MATEMANIJA

7. zadatak

Potrebno je odrediti broj parova [inlmath](a,b)[/inlmath] prirodnih brojeva za koje važi [inlmath]\log_{2^a}\Bigl(\log_{2^b}\left(2^{1000}\right)\Bigr)=1[/inlmath].

Za početak ćemo malo transformisati datu logaritamsku jednakost:
[dispmath]\log_{2^a}\Bigl(\log_{2^b}\left(2^{1000}\right)\Bigr)=1\;\to\;\log_{2^b}\left(2^{1000}\right)=2^a\;\to\;2^{1000}=\left(2^b\right)^{\left(2^a\right)}\;\to\;2^{1000}=2^{b\cdot2^a}[/dispmath] Odakle sledi: [inlmath]\enclose{box}{b\cdot2^a=1000}[/inlmath] (Ukoliko nekom nisu jasne ove transformacije, neka slobodno pita, mada mislim da neće biti problema...)

Sada, kako su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] prirodni brojevi, za [inlmath]a=1[/inlmath] imamo [inlmath]b=500[/inlmath] (iz [inlmath]b\cdot2^a=1000[/inlmath]). Za [inlmath]a=2[/inlmath], [inlmath]b=250[/inlmath]. Za [inlmath]a=3[/inlmath], [inlmath]b=125[/inlmath]. Za [inlmath]a=4[/inlmath], kao i za veće vrednosti broja [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] neće biti prirodan broj. Za [inlmath]a=0[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] bi bilo jednako [inlmath]1000[/inlmath], ali za [inlmath]a=0[/inlmath] logaritam nije definisan, pa ovaj par otpada. Imamo ukupno [inlmath]\Large3[/inlmath] para prirodnih brojeva: [inlmath](1,500)[/inlmath]; [inlmath](2,250)[/inlmath] i [inlmath](3,125)[/inlmath].

Ili, ako bismo [inlmath]1000[/inlmath] razložili na proste činioce, dobili bismo [inlmath]1000=2\cdot2\cdot2\cdot5\cdot5\cdot5=2^3\cdot5^3[/inlmath], odakle vidimo da iz [inlmath]b\cdot2^a=1000=5^3\cdot2^3[/inlmath] sledi da [inlmath]a[/inlmath] može biti najviše [inlmath]3[/inlmath] (a može, naravno, biti i [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath]).
Što se tiče [inlmath]a=0[/inlmath], naravno ovde ta mogućnost otpada zbog nedefinisanotsti, što reče Igor. Ali, da je jednačina kojim slučajem definisana i za [inlmath]a=0[/inlmath], lično sam mišljenja da bi se taj slučaj mogao izostaviti, jer, iako postoje autori koji nulu ubrajaju u prirodne brojeve, takvi autori su ipak u manjini i na prijemnom bi se kao prirodni brojevi komotno mogli smatrati brojevi od [inlmath]1[/inlmath] pa nadalje (osim ako nije drugačije naglašeno).